Выбрать главу

К вопросу о генезисе новоевропейской науки

В конце 80-х годов на одной из научных конференций, проводившихся Институтом философии в Звенигороде и посвященной проблеме научной рациональности, с очень интересным докладом выступил В.А.Смирнов. Обсуждая вопрос, как возможна историческая смена типов рациональности, он высказал мысль о необходимости для решения этого вопроса привлекать к анализу культурно-исторический контекст науки. Такой подход представляется вполне оправданным. В своем докладе я остановлюсь на одном историческом эпизоде, который подтверждает справедливость этого подхода.

Речь пойдет о генезисе новоевропейской науки, в частности, о новом решении проблемы непрерывности, предложенном Галилеем, решении, связанном с пересмотром античного и средневекового понимания непрерывности и послужившем толчком к созданию математики бесконечно-малых.

Принцип непрерывности, как он был разработан в античной математике и физике, исключал допущение актуальной бесконечности. Проблема континуума возникла в античности в связи с открытием несоизмеримости, с одной стороны, и апориями элеата Зенона, с другой. Пытаясь решить эту проблему, крупнейший математик античности Евдокс пытается доказать возможность установления отношений также и несоизмеримых величин. Пока не была открыта несоизмеримость, отношения выражались целыми числами: для определения отношения двух величин нужно было меньшую взять столько раз, сколько необходимо, чтобы она сравнялась с большей. Но отношения несоизмеримых величин невозможно выразить в виде пропорции, члены которой будут целыми числами. Чтобы установить отношения несоизмеримых величин, Евдокс предложил такой выход: если для двух величин a и b, где a больше b, можно подобрать такое число n, чтобы было справедливо неравенство nb>a, то величины a и b находятся между собой в некотором отношении.

Открытие Евдокса получило впоследствии название принципа отношений, сформулированного Евклидом в четвертом определении V книги “Начал”: “Говорят, что величины имеют отношение между собой, если, взятые кратко, они могут превзойти друг друга” (Евклид. Начала. Кн. I-IV. С. 142). В противном случае величины не находятся ни в каком отношении, что и в самом деле имеет место там, где речь идет о бесконечно малых величинах, которые были известны грекам, например, в виде “роговидных” углов, образованных прямой и кривой или двумя кривыми: роговидный угол не находится ни в каком отношении с прямолинейными, – он меньше любого прямолинейного угла.

В полном согласии с Евдоксом решает проблему непрерывности и Аристотель. Вот Аристотелева формулировка принципа отношений: “Если, взявши от конечной величины определенную часть, снова взять ее в той же пропорции, т.е. не ту же самую величину, которая взята от целого, то конечную величину нельзя пройти до конца; если же настолько увеличить пропорцию, чтобы брать всегда одну и ту же величину, то пройти можно, так как конечную величину всегда можно исчерпать любой определенной величиной” (Физика, III. 206в). Аристотель здесь показывает, что альтернативой принципа отношений будет апория Зенона “Дихотомия”: именно эта апория доказывает, что никакую конечную величину нельзя пройти до конца, так как она состоит из актуально бесконечного числа бесконечно малых (неделимых) элементов.

И Аристотель, и Евдокс базируются на допущении потенциальной бесконечности и запрете бесконечности актуальной. Именно потенциальная бесконечность составляет основу античного принципа непрерывности. “Я говорю о непрерывном, – пишет Аристотель, – когда граница, по которой соприкасаются оба следующих друг за другом предмета, становится для обоих одной и той же и, как показывает название, не прерывается...” (Физика, V, 3). Непрерывным, согласно Аристотелю, может быть пространство, время, движение. Непрерывное – это то, что делится на части, всегда делимые. А это значит, что непрерывное не может быть составлено из неделимых. Таким образом, снимая трудности, возникающие в физике при допущении, что пространство и время состоят из неделимых элементов, Аристотель доказывает, что именно непрерывность есть условие возможности движения и соответственно условие его мыслимости. Тем самым оказываются устраненными те апории Зенона, которые базируются на допущении актуально бесконечного множества неделимых элементов любого отрезка пространства и времени.

Потенциально бесконечное – это, согласно Аристотелю, то, что всегда становится, возникает, а не есть нечто завершенное, законченное. Пример потенциально бесконечного – это бесконечно возрастающий ряд натуральных чисел, который, сколько бы его ни увеличивали, остается как угодно большой, но конечной величиной. Потенциально бесконечное всегда связано с конечностью и есть не имеющее предела движение по конечному. Потенциально бесконечное – бесконечно делимое, которое, “ будучи проходимым по природе, не имеет конца прохождения, или предела” (Физика, III, 206 в). Бесконечное, по Аристотелю, есть поэтому возможное, а не действительное, материя, а не форма. Не допуская актуальной бесконечности, он определяет бесконечное как то, вне чего всегда что-то есть. Бесконечному противостоит то, что Аристотель называет законченным и целым: “Там, где вне ничего нет – это законченное и целое: это то, у которого ничего не отсутствует, например целое представляет собой человек или ящик... Целое и законченное или совершенно одно и то же, или сродственны по природе: законченным не может быть ничто, не имеющее конца, конец же граница” (там же, III, 6, 207 а). Только предел, граница делает нечто актуально сущим, действительным и потому предстает как начало формы.

В средние века сохраняется античный принцип непрерывности как в математике, так и в физике. Вот формула Фомы Аквинского: “Ничто непрерывное не может состоять из неделимых”. Согласно средневековым понятиям, актуально бесконечен лишь Бог, в природе сотворенной мы имеем дело с потенциальной бесконечностью, и только она постижима для человеческого разума. Несмотря на постоянные споры вокруг понятий бесконечного и непрерывного средневековая наука опиралась на теорию отношений Евдокса и Аристотелево понятие непрерывного.