Многие не любят математику, объясняя это тем, что она слишком абстрактна, как будто процесс абстракции является чем-то искусственным и неестественным.
Но это не так. Если бы мы не обладали способностью к абстракции, мы не смогли бы даже выработать общий язык. Иногда абстрактное мышление называют также непрактичным, но и это не соответствует действительности. Лишь наиболее абстрактный метод является наиболее практичным. Хорошим примером этого служит позиционная система счисления, которую мы используем в повседневной жизни самым «естественным» образом. В непозиционной системе символ, представляющий число, имеет одно и то же значение независимо от позиции, которую он занимает.
Например, в римской системе счисления число пять обозначается буквой V и имеет одно и то же значение в выражениях XV, XVI и VII. Однако если бы римская система была позиционной системой счисления, то в первом выражении символ V означал бы пять единиц, во втором — 50, а в третьем — 500.
Открытие позиционной системы счисления оказалось не совсем простым делом.
На это потребовалось более тысячи лет. Числа имеют долгую и интересную историю, но это не главная тема нашей книги. Будем считать, что числа нам уже известны и что, кроме того, мы уже знакомы с основными операциями сложения, вычитания, умножения и деления.
Цивилизация майя — одна из немногих древних цивилизаций, применявших позиционную систему счисления. Майя использовали только три символа: раковина обозначала ноль, точка — каждую единицу, тире — пять единиц.
Возьмем любое число, например, 12. Мы знаем, что мы можем выразить это число по-разному как произведение других чисел:
12 = 2 х 6;
12 = 3 х 4;
12 = 2 х 2 х 3.
Далее мы будем называть эти числа «делителями». Таким образом, мы будем говорить, что 3 является делителем числа 12. Делитель — это меньшее число, на которое делится большее, а именно, 12 делится на 3. Аналогично мы можем сказать, что 5 является делителем 20, потому что 20 делится на 5. В данном контексте под словом «делится» мы подразумеваем тот факт, что если разделить число 20 на 5, то получится натуральное число, в данном случае 4, а остаток от деления будет равен нулю.
Разложение числа на множители иногда называют факторизацией: от латинского слова facere — «делать» или «производить», потому что каждый множитель «производит» исходное число. В выражении 12 = 3 х 4 число 3 является одним из множителей, которые «производят» число 12.
Соответственно, на вопрос: «Какие числа являются делителями числа 12?» можно ответить, что числа 2, 3, 4 и 6 будут делителями числа 12, потому что при делении 12 на любое из них получается целое число. Делителем любого числа также является 1, так как каждое число делится на единицу и еще на само себя. Например, делителями числа 18 являются следующие числа: 1, 2, 3, 6, 9 и 18.
Теперь сделаем то же самое для числа 7, а именно найдем его делители. Мы увидим, что число 7 делится только на единицу и на само себя. То же самое верно и для чисел 2, 3, 5, 11 и 13. Эти числа и являются «простыми».
Теперь мы можем дать точное определение простого числа: число называется простым, если оно делится только на единицу и на само себя.
Эти рассуждения о натуральных числах содержали операции умножения и деления. В результате мы пришли к выводу, что некоторые числа являются особыми, и при нахождении определения, которое описывает их, мы использовали процесс абстракции. Дав этим числам название и определив их свойства, мы можем приступить к более глубокому их изучению.
* * *
ЗНАКИ ДЬЯВОЛА
В эпоху темного средневековья цифры считались тайными знаками «секретного письма». Именно поэтому закодированные сообщения до сих пор называют «зашифрованными сообщениями», так как слово «шифр» происходит от арабского слова «цифра». Строго говоря, только те сообщения, в которых буквы заменены цифрами, следует называть зашифрованными. Когда арабские цифры впервые появились в Европе, рьяные абацисты (счетоводы) заменяли их на счетах римскими цифрами, не желая использовать эти «дьявольские символы, которыми Сатана сбил арабов с пути истинного». Даже спустя шесть веков после смерти папы Сильвестра II, в 1003 г., церковники приказали вскрыть его могилу, чтобы проверить, нет ли там демонов, которые внушили ему интерес к науке сарацинов.