Льюис Кэрролл
ПРИДИРКИ ОКСФОРДСКОГО ПРОХОЖЕГО
Численное значение пая (1865)
Динамика партийной горячки (1865)
Факты, фантазии и причуды (1866—1868)
Новая Звонница (1872)
Видение трёх «Т» (1873)
Чистый чек (1874)
НОВЫЙ МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ ЧИСЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ в применении к числу
Проблема нахождения величины числа π, привлекавшая внимание математиков с самых давних времён, ближе к нашему времени стала рассматриваться как чисто арифметическая. Но именно нынешнему поколению предназначено было совершить открытие, что в действительности это всё-таки проблема из области динамики, и истинная величина пая, казавшаяся нашим предшественникам неким [3], была в конце концов под давлением.
Ниже приведены основные обозначения.
Пусть U — это Университет, G — Греческий Язык, а P — Профессор. Тогда GP — Профессор Греческого Языка; приведём к несократимому виду, соответствующие младшие члены получат обозначение J [4].
Пусть также W — усилия, связанные с хождением в должность, Т — времена, ρ — жалуемая за те усилия плата, π — плата за то же в соответствие с, а S — вожделенная сумма, так что π = S.
Задача заключается в получении такой величины π, которая была бы соизмерима с W.
В прежних трудах, посвящённых этому предмету, было показано, что среднее значение пая составляет 40,000000. Позднейшие авторы заподозрили, что запятая случайно оказалась смещённой, и что истинное значение пая на самом деле [5] 400,00000; но так как подробности процедуры вычисления утрачены, то вплоть до нашего времени дело на том и остановилось, хотя для решения этой задачи пытались применить некоторые чрезвычайно остроумные методы.
Ниже мы собираемся дать краткий обзор этих методов. На наш взгляд, более остальных заслуживают внимания Рационализация, метод Индифферентности, метод и метод Исключения. Завершим мы рассказом о величайшем открытии наших дней, методе Вычисления под Давлением.
Своеобразие процедуры освобождения от иррациональностей заключается в её одинаковом воздействии на все величины с отрицательным знаком.
Покажем это на примере. Пусть Н — Высокая церковь, а L — Низкая церковь; тогда их среднее геометрическое будет . Обозначим его «В» (Широкая церковь) [6].
=> HL = B2 [7]
Пусть, кроме того, и являются неизвестными.
Теперь процедура требует разбиения U на элементарные фракции [8], которые могут создавать различные объединения. Та из двух сформированных таким образом фракций большинства, которая соответствовала , в дальнейшем не представляла трудностей, зато рационализация второй казалась безнадёжной.
Вследствие этого попытались провести [9], и уже раздавались вопросы: «Почему же величину π никак не оценят?». Главная трудность заключалась в нахождении у.
Тогда с целью упростить уравнение прибегли к некоторым оригинальным заменам и перестановкам, и одно время утверждали, хотя это никогда не было доказано, что все участвующие игреки оказываются на одной стороне. Тем не менее, предварительные слушания вновь и вновь приводили к одному и тому же иррациональному результату, поэтому данная в конце концов была оставлена [10].
Это была модификация «метода конечных Разностей», которую вкратце можно описать так.
Пусть — Очерки, а R — Рецензии, тогда геометрическая область точек (Е + R) в системе координат оказывается поверхностью (т. е. эта область имеет длину и ширину, но не имеет глубины) [11]. Пусть — это новизна; предположим, что (Е + R) является функцией .
Принимая эту поверхность в качестве базисной плоскости, получаем:
Е = R = B
=> EB = B2 = HL (См. предыдущий пункт).
Умножив на , получаем EBP = HPL [12].
Теперь оставалось исследовать геометрическое место [13]; было показано, что оно является родом Цепной Линии [14], называемым Цепной Патристикой [15], которая обычно определяется как « паттерн, содержащий много кратных точек». Геометрическое место HPL практически полностью с ней совпало.
Основные результаты ожидались из допущения, что (E + R) есть функция от , но так как оппоненты этой теоремы решительно преуспели в доказательстве того, что переменная даже не входит в данную функцию, то на получение реального значение π этим методом не осталось никакой надежды.
Это была изнуряющая процедура вытягивания численного выражения пая рядом соглашений через нескончаемые голосования [16]. Получаемый таким способом ряд производил впечатление сходящегося, однако после всех вычетов результат всегда оказывался отрицательным, что, разумеется, делало процедуру вытягивания невозможной.
Следующая теорема ведёт своё происхождение от радикального ряда в Арифметической Прогрессии: обозначим сам ряд как АР, а его сумму как (А.Р.)S. Было найдено, что функция (А.Р.)S. в различных формах участвует в вышеописанной процедуре. Тогда эксперимента решили преобразовать ()S. в какую-нибудь новую систему счисления, ведь первоначально, на протяжении длинного ряда... семестров, она существовала то в , то в системах счисления; отражённая в этих системах, наша функция предоставила нам много красивых выражений. Ныне она переведена в десятеричный вид [17].
Произведя эти преобразования, процедуру разделения голосов повторили, но с же отрицательным результатом, после чего попытки были оставлены, хоть и не без надежды на будущих математиков, которым после привлечения некоторого количества прежде не определившихся постоянных, возведённых во вторую степень, возможно, удастся достичь положительного результата.
Давно было ясно, что основное препятствие к вычислению π — это присутствие J. В предыдущую эпоху развития математики ради устранения J не ограничились бы даже двумя секущими на прямоугольной площади, а произвели бы вдобавок отделение меньшей части — так называемая процедура устранения по произволу, которая ныне считается не вполне законной.
Ныне же одни предлагали исключить J на основании процедуры, состоящей из двух действий, одно из которых называется «получением достатка», а второе — «обращением остатка»; до её применения, однако, дело не дошло, поскольку J сделались нерешительными. Другие сторонники данного метода предпочли бы, чтобы J исключались [18]. Получившим классическое образование едва ли стоит напоминать, что есть аблятив от [19] и что это прекрасное и выразительное словцо знаменует желание устранить J через принудительное религиозное освидетельствование.
1
Эпиграфом к данному сборнику написанных в разные годы памфлетов, анонимно вышедшему в Оксфорде в 1874 году, служат строки из первой строфы стихотворения Роберта Бёрнса «К странствию по Шотландии капитана в отставке , собирающего древности этого королевства» (1789). Приведём эту известную (выражение «один прохожий» на шотландском наречии сделалось обиходным среди носителей английского языка) строфу полностью:
Здесь Страна лепёшек — разговорное именование («бирка»!) Шотландии, славящейся своими лепёшками. Выражение «от (sic!) до Джони Гроутса» означает всю Шотландию целиком, от южной оконечности до северной.
2
Эпиграфом служит начало английской детской песенки из корпуса «Рифмы Матушки Гусыни». Дело в том, что греческая буква π произносится по-английски как
4
Памфлет посвящён полемике, разыгравшейся вокруг должности заведующего Королевской кафедрой греческого языка (она так называется, поскольку её основал сам Генрих VIII в 1546 г.). Ещё 20 ноября 1861 г. Доджсон записал в дневнике: «Обнародование в Конгрегации нового положения о наделении постоянным доходом. Говорильня заняла всю вторую половину дня, причём те два пункта, по которым велись дебаты: передача Королевской кафедры и поддержка теологических взглядов — оказались так безнадёжно перемешанными, что я встал и попросил, чтобы их всё же рассмотрели по отдельности. А раз уж я встал, то и наговорил более того, чем собирался вначале... Это было моё первое выступление в Конгрегации». А в 1865 году, когда и был написан данный памфлет, капитул (собрание каноников) Христовой Церкви (по-английски звучит « Чёрч», она же одновременно — собор Оксфордского диоцеза; образует единый комплекс зданий с Большим Квадратом колледжа Христовой Церкви) во главе с деканом вынужден был увеличить профессорское содержание до пятисот фунтов стерлингов. Отсюда понятен смысл буквенных обозначений: J — это не только «младшие члены» (от англ. junior; но поскольку в данном памфлете подобные выражения являются как математическими, так и политико-административными терминами, здесь это значит также «младшие чины»), но и «», а π — искомая сумма надлежащего жалованья для .
5
Имеется в виду годовой доход в фунтах стерлингов. Во времена, предшествующие описываемым, жалованье профессорскому составу (символ «ρ» в этой вступительной главке), превышающее годовую сумму в 40 фунтов стерлингов (символ «S»), в Крайст Чёрч не назначали. На протяжении столетий (с шестнадцатого века, т. е. с момента основания Колледжа) этот предел оставался неизменным. В то же время годовое содержание каноников Крайст Чёрч ко времени дела Джоветта уже превышало 1000 фунтов стерлингов. На собрании 14 февраля 1865 года капитул Чёрч, до того безуспешно пытавшийся заручиться мнением Университетского совета, что законного обязательства платить более указанной суммы не существует, постановил увеличить Джоветту жалованье до 500 фунтов стерлингов актом доброй воли и «на основании общей целесообразности».
6
Обычно комментаторы разъясняют церковную ситуацию в Англии той эпохи следующим образом: «В середине девятнадцатого англиканская церковь пребывала в расстройстве. Наряду с мелкими течениями, в ней существовали три главные партии: Высокая церковь, Низкая и проч.». По существу, это расстройство характерно отнюдь не только для указанной эпохи с уже отгремевшим ко времени написания настоящего памфлета Оксфордским движением (о нём — и в комментариях ниже). Высокая церковь («высокий» по-английски — , откуда и появляется буква H в обозначениях), или государственная англиканская церковь, возникла ещё в 1534 г., когда Генрих VIII провёл реформацию и объявил главой церкви в Англии короля, а не папу; Низкая церковь ( по-английски, откуда буква L), обвиняла Высокую в том, что та строго придерживается догматов и ритуалов; Широкая же церковь (соответственно и буква B), привлекала к себе уставших от доктринальных дебатов представителей высших и средних церковных слоёв, которые желали бы иметь церковь, более рационалистическую и терпимую. А примерно с 1700-го года церковный разлад проходил рука об руку с политическим, поскольку сторонники с одной стороны Высокой, а с другой стороны Низкой, церквей смыкались также и с двумя главными и жестоко соперничающими политическими партиями — первые с тори, вторые с вигами. Это происходило из самой логики вещей: первоначально название «тори» (от бранного прозвища католиков в Ирландии в XVII веке) получили противники Билля об отводе 1680 г., целью которого было отстранить от престолонаследования герцога Йоркского, будущего короля Иакова II Стюарта, а Стюарты всегда симпатизировали католицизму. Соответственно, сторонников Билля называли вигами, от презрительной клички шотландцев-пресвитариан «вигаморры», то есть скотокрады.
7
Знак «=>» используется в литературе по алгебре и математической логике как заменитель слов «следовательно», «поэтому».
8
По-английски выражение «партийные фракции» ( ) созвучно выражению «элементарные дроби» ( ). Для усиления двусмысленности Доджсон применяет контаминацию: .
9
сведение к абсурду
10
В последующих частях своего памфлета Доджсону удаётся фактически достоверно рассказать сразу две истории: во-первых, историю изучения природы числа π, во-вторых, последовательность событий, приведших к увеличению содержания собрания каноников Чёрч «под давлением». Обе истории рассказываются одними и теми же словами, с одной стороны математически точными, с другой — вполне обиходными, и, таким образом, как бы содержатся одна в одной.
11
«Очерки и рецензии» (« ») — название книги и Фредерика , вышедшей в 1860 году и совпавшей по времени с опубликованием «Происхождения видов». Обе книги вызвали «бурю» в административных и церковных кругах. «Буря» продолжалась четыре года; для , поддержанного Артуром Стэнли, она окончилась победой и вызвала перемены в руководстве Высокой церкви (см. также прим. [17]). Однако данный раздел всё же носит название «Метод Расхолаживания»: он повествует о крахе попытки Пьюзи потребовать увеличения содержания профессорам ещё некоторых кафедр. Попытка Пьюзи предшествовала триумфу Джоветта и, как пишет Доджсон в предыдущей главке о «фракции большинства, которая соответствовала
12
Буквами EBP и HPL обозначены соответственно Эдвард (1800—1882) и Генри (1829—1890). Первый — видный теолог и выдающаяся фигура англиканской церкви, лидер Оксфордского движения (которое даже называли часто , хотя не стоял у его истоков), он ратовал за возвращение Высокой церкви к идеалам конца семнадцатого столетия; на протяжении пятидесяти четырёх лет (до самой смерти) состоял каноником Оксфордского собора (получил место в двадцать восемь лет одновременно с назначением на Королевскую кафедру древнееврейского языка). Второй — занимавший кафедру экзегезы профессор из Чёрч и друг Доджсона на всю жизнь: вдвоём они совершили путешествие в Россию (1867 г.). Будучи близким другом и впоследствии даже биографом Эдварда
13
Геометрическим местом точек называется совокупность всех точек, удовлетворяющих заданным условиям. Например, окружность есть геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от некоторой точки (называемой центром этой окружности).
14
Такое название соответствующему классу математических кривых дал их в 1610 году Гюйгенс. Цепную линию образует, например, горизонтально подвешенная за оба конца цепь — наподобие тех, что перекрывают проезд.
15
Так иронически можно переиначить респектабельное, традиционно название сборника трудов отцов церкви (« »), в которого принимал участие наряду с другими деятелями Высокой церкви (в этой же фразе обыгрывается имя одного из отцов церкви, Оригена).
16
Как уже говорилось, в оригинале эту фразу, как и большинство других фраз памфлета, можно понять и в строгом математическом смысле: «Это была исчерпывающая процедура извлечения численной величины π в виде ряда членов путём повторяющегося деления». Исторически первым такой способ деления изложил в трактате «» Меркатор (1668 г.), а к разложению в ряд (для последующего суммирования) иррационального выражения, появляющегося при решении задач на квадратуру круга, его применил Лейбниц.
17
Буквенное выражение (А.Р.)S. означает не только сумму радикального ряда арифметической прогрессии, но и самого Артура (1815—1881), который «рядом соглашений через нескончаемые разногласия» настойчиво склонял мнение Университета на сторону . деканом (т. е., как нам уже известно, настоятелем и главой капитула) Вестминстерского собора (до этого занимал Королевскую кафедру церковной истории в Оксфорде, одновременно являясь членом собрания каноников Христовой Церкви — Чёрч). Это назначение знаменовало смену всего прежнего руководства Высокой церкви, стремившегося добиться осуждения взглядов, выдвинутых и в «Очерках и рецензиях». Знаменитый «декан Стэнли» занимал активную умеренную позицию и в других церковных спорах — например, в деле епископа (см. «Аннотированный — 2»). Он стремился к примирению Высокой и Низкой церквей, интересовался Православием и тоже посетил Россию — зимой 1874 года, в свите Альфреда, герцога , вступавшего в брак с великой княжной Марией Александровной. Вообще много путешествовал по Востоку, о чём увлекательно рассказал в своих книгах «многими красивыми выражениями». Ср., например, книгу « и Палестина», откуда не так далеко до , а дальше на восток и
19
В ортодоксальном иудейском праве Галахе это слово означает существо неопределённого пола (наподобие ). Здесь может означать ‘то, не знаю что’. И всё-таки ; Доджсон шутит.