(6.12)
где еr— единичный радиальный вектор (фиг. 6.3). Кроме того, точку (x, y, z) можно обозначить буквой r. Итак, Дипольный потенциал:
(6.13)
Эта формула справедлива для диполя произвольной ориентации и положения, если r — вектор, направленный от диполя к интересующей нас точке.
Если нас интересует электрическое поле диполя, то нужно взять градиент j. Например, z-компонента поля есть -dj/dz. Для диполя, ориентированного вдоль оси z, мы можем использовать (6.9):
Фиг. 6.4. Электрическое поле диполя.
или
(6.14)
А х- и y-компоненты равны
Из этих двух компонент можно составить компоненту, перпендикулярную к оси z, которая называется поперечной компонентой E^:
или
(6.15)
Поперечная компонента Е^ лежит в плоскости ху и направлена прямо от оси диполя. Полное поле, конечно, равно
Поле диполя меняется обратно пропорционально кубу расстояния от диполя. На оси при 6 =0 оно вдвое сильнее, чем при 9 =90°. При обоих этих углах электрическое поле обладает только z-компонентой. Знаки ее при 2=0 и при z=90° противоположны (фиг. 6.4).
§ 3. Замечания о векторных уравнениях
Здесь, пожалуй, уместно сделать общее замечание, касающееся векторного анализа. Хотя его теоремы и доказаны в общем виде, однако, приступая к расчетам и анализу какой-либо задачи, следует с толком выбирать направление осей координат. Вспомните, что когда мы вычисляли потенциал диполя, то ось выбиралась не как попало, а мы направили ее по оси диполя.
Это намного облегчило нашу задачу. Потом уже уравнения были переписаны в векторной форме и сразу перестали зависеть от выбора системы координат. Теперь стало возможным выбирать какую угодно систему координат, зная, что формула отныне всегда будет справедлива. Вообще нет смысла вводить произвольную систему координат, где оси направлены под каким-то сложным углом, если можно в данной задаче выбрать систему получше, а уже в самом конце выразить результат в виде векторного уравнения. Так что старайтесь использовать то преимущество векторных уравнений, что они не зависят ни от какой системы координат.
С другой стороны, если вы хотите подсчитать дивергенцию какого-то вектора, то вместо того, чтобы смотреть на у·Е и вспоминать, что это такое, лучше расписать это в виде
Если вы затем вычислите по отдельности х-, у- и z-компоненты электрического поля и продифференцируете, то получите искомую дивергенцию. Часто при этом испытывают такое чувство, как будто произошло что-то некрасивое — словно, расписав вектор покомпонентно, потерпели неудачу; все время кажется, будто все действия надо проделывать только с векторными операторами С. Но часто от них нет никакого проку. Когда вы впервые сталкиваетесь с какой-то новой задачей, то, как правило, полезно расписать все в компонентах, чтобы удостовериться, что вы правильно представляете себе, что происходит. Нет ничего некрасивого в том, что в уравнения подставляются числа, и нет ничего неприличного в том, чтобы подставлять производные на место причудливых символов. Наоборот, в этом-то и проявляется ваша мудрость. Конечно, в специальном журнале статья будет выглядеть гораздо приятнее (да и понятнее), если все записано в векторном виде. Но там надо экономить еще и место.
§ 4. Диполъный потенциал как градиент
Мы хотели бы теперь отметить любопытное свойство формулы диполя (6.13). Потенциал можно записать также в виде
(6.16)
Действительно, вычислив градиент 1/r, вы получите
и (6.16) совпадет с (6.13).
Фиг. 6.5. Потенциал в точке Р от точечного заряда, поднятого на Dz над началом координат, равен потенциалу в точке Р' (на Dz ниже Р) того же заряда, но помещенного вначале координат.
Как мы догадались об этом? Мы просто вспомнили, что er/r2 уже появлялось в формуле для поля точечного заряда и что поле — это градиент потенциала, изменяющегося как 1/r.
Существует и физическая причина того, что дипольный потенциал может быть записан в форме (6.16). Пусть в начало координат помещен точечный заряд q. Потенциал в точке Р(х, у, z) равен