Проинтегрированный член равен нулю, так как мы считаем f равным нулю на бесконечности. (Это отвечает обращению h в нуль при t1 и t2. Так что наш принцип более точно формулируется следующим образом: U* для правильного j меньше, чем для любого другого
j(х, у, z), обладающего теми же значениями на бесконечности.) Затем мы проделаем то же с у и с z. Наш интеграл DU* обратится в
Чтобы эта вариация была равна нулю при любом произвольном f, коэффициент при f должен быть равен нулю. Значит,
Мы вернулись к нашему старому уравнению. Значит, наше «минимальное» предложение верно. Его можно обобщить, если слегка изменить выкладки. Вернемся назад и проинтегрируем по частям, не расписывая все покомпонентно. Начнем с того, что напишем следующее равенство:
Продифференцировав левую часть, я могу показать, что она в точности равна правой. Это уравнение подходит для того, чтобы провести интегрирование но частям. В нашем интеграле DU* мы заменяем Сj·Сf на —fС2j+С·(fС j) и затем интегрируем это по объему. Член с дивергенцией после интегрирования по объему заменяется интегралом по поверхности:
А поскольку мы интегрируем по всему пространству, то поверхность в этом интеграле лежит на бесконечности. Значит, f=0, и мы получаем прежний результат.
Только теперь мы начинаем понимать, как решать задачи, в которых мы не знаем, где расположены все заряды. Пусть мы имеем проводники, на которых как-то распределены заряды. Если потенциалы на всех проводниках зафиксированы, то наш принцип минимума все еще разрешается применять. Интегрирование в U* мы проведем только по области, лежащей снаружи всех проводников. Но раз мы не можем на проводниках менять j, то на их поверхности f=0, и поверхностный интеграл
тоже равен нулю. Остающееся объемное интегрирование нужно проделывать только в промежутках между проводниками.
И мы, конечно, снова получаем уравнение Пуассона
Мы, стало быть, показали, что наш первоначальный интеграл U* достигает минимума и тогда, когда он вычисляется в пространстве между проводниками, каждый из которых находится при фиксированном потенциале [это значит, что каждая пробная функция j(х, у, z) должна равняться заданному потенциалу проводника, когда (х, у, z) — точки поверхности проводника]. Существует интересный частный случай, когда заряды расположены только на проводниках. Тогда
и наш принцип минимума говорит нам, что в случае, когда у каждого проводника есть свой заранее заданный потенциал, потенциалы в промежутках между ними пригоняются так, что интеграл U* оказывается как можно меньше. А что это за интеграл? Член Сj — это электрическое поле. Значит, интеграл — это электростатическая энергия. Правильное поле и есть то единственное, которое из всех полей, получаемых как градиент потенциала, отличается наименьшей полной энергией.
Я хотел бы воспользоваться этим результатом, чтобы решить какую-нибудь частную задачу и показать вам, что все эти вещи имеют реальное практическое значение. Предположим, что я взял два проводника в форме цилиндрического конденсатора.
У внутреннего проводника потенциал равен, скажем, V, а у внешнего— нулю. Пусть радиус внутреннего проводника будет равен а, а внешнего — b. Теперь мы можем предположить, что распределение потенциалов между ними — любое.
Но если мы возьмем правильное значение j и вычислим
, то должна получиться энергия системы 1/2CV2.
Так что с помощью нашего принципа можно подсчитать и емкость С. Если же мы возьмем неправильное распределение потенциала и попытаемся этим методом прикинуть емкость конденсатора, то придем к чересчур большому значению емкости при фиксированном V. Любой предполагаемый потенциал j, не точно совпадающий с истинным его значением, приведет и к неверной величине С, большей, чем нужно. Но если неверно выбранный потенциал j является еще грубым приближением, то емкость С получится уже с хорошей точностью, потому что погрешность в С — величина второго порядка по сравнению с погрешностью в j.