=-
ℎν
2𝑚𝑐²
.
Например, для линий серии Бальмера в спектре атома водорода Δν/ν~10-9.
Разумеется, явление отдачи можно учесть и при излучении света движущимся атомом. Для этого при переходе от формулы (2) к (3) нужно сохранить слагаемое, содержащее квадрат импульса фотона. Окончательное выражение для относительного сдвига частоты, кроме (𝑣/𝑐)cos θ, будет содержать член ℎν'/(2𝑚𝑐²), который становится главным при 𝑣=0.
До сих пор мы рассматривали нерелятивистский случай, когда излучающий атом двигался со скоростью 𝑣, много меньшей скорости света 𝑐. Интересно выяснить, каким будет обусловленный эффектом Доплера сдвиг частоты, если излучатель движется с большой скоростью, сравнимой со скоростью света 𝑐. Это можно сделать, если использовать для энергии и импульса излучающего атома точные релятивистские выражения. Однако проще рассмотреть другой пример - аннигиляцию электрон-позитронной пары, сопровождающуюся излучением двух гамма-квантов. Анализ этого примера даст возможность ответить и на интересующий нас вопрос.
Пусть перед аннигиляцией относительная скорость электрона и позитрона мала, т.е. можно считать, что они оба покоятся. Так как импульс всей системы до аннигиляции равен нулю, то он останется равным нулю и после излучения. Это значит, что образовавшиеся при аннигиляции фотоны летят в противоположные стороны и имеют равные по модулю импульсы ℎν/𝑐 и, следовательно, одинаковую частоту ν. Эта частота сразу находится с помощью закона сохранения энергии: приравнивая энергию фотона энергии покоя электрона и позитрона,
2ℎν
=
2𝑚₀𝑐²
.
получаем
ν
=
𝑚₀𝑐²
ℎ
.
(8)
Соответствующая этому излучению длина волны λ=𝑐/ν, вследствие (8), равна ℎ/𝑚₀𝑐 и называется комптоновской длиной волны электрона.
Теперь рассмотрим этот же процесс аннигиляции электрона и позитрона с точки зрения другой системы отсчёта, относительно которой электрон-позитронная пара перед аннигиляцией движется со скоростью 𝒗. Направление скорости 𝒗 выберем так, чтобы оно совпадало с направлением распространения одного из испущенных фотонов. Обозначим через ν₁ частоту фотона, излучаемого «вперёд», а через ν₂ - излучаемого «назад». Тогда в этой системе отсчёта закон сохранения импульса в проекции на направление движения аннигилирующей пары принимает вид
ℎν₁
𝑐
-
ℎν₂
𝑐
=
2𝑚₀𝑣
√1-𝑣²/𝑐²
.
(9)
При аннигиляции полная релятивистская энергия пары превращается в энергию излучения. Поэтому закон сохранения энергии записывается в виде
ℎν₁
+
ℎν₂
=
2𝑚₀𝑐²
√1-𝑣²/𝑐²
(10)
Из системы уравнений (9) и (10) легко найти частоты ν₁ и ν₂. Умножив обе части (9) на с и сложив с уравнением (10), находим ν₁:
ν₁
=
𝑚₀𝑐²
ℎ
⎛
⎜
⎝
𝑐+𝑣
𝑐-𝑣
⎞½
⎟
⎠
=
ν
⎛
⎜
⎝
𝑐+𝑣
𝑐-𝑣
⎞½
⎟
⎠
.
(11)
Здесь использовано выражение (8) для частоты ν фотона, излучаемого при аннигиляции неподвижной пары. Аналогично, вычитая из уравнения (9) уравнение (10), находим ν₂:
ν₂
=
ν
⎛
⎜
⎝
𝑐-𝑣
𝑐+𝑣
⎞½
⎟
⎠
.
(12)
Полученные формулы (11) и (12) и дают выражение для продольного эффекта Доплера в релятивистском случае. Частота ν₁. фотона, излучаемого по направлению движения, оказывается выше, а частота ν₂ фотона, излучаемого против движения, - ниже, чем частота фотона, испускаемого неподвижным излучателем.
Легко видеть, что при 𝑣/𝑐≪1 формулы (11) и (12) дают обычное выражение для нерелятивистского эффекта Доплера. Для этого домножим числитель и знаменатель подкоренного выражения в формуле (11) на 𝑐+𝑣. Пренебрегая затем в знаменателе величиной 𝑣² по сравнению с 𝑐², получаем
ν₁
=
ν
⎛
⎜
⎝
(𝑐+𝑣)²
𝑐²-𝑣²
⎞½
⎟
⎠
≈
⎛
⎜
⎝
1
+
𝑣
𝑐
⎞
⎟
⎠
,
(13)
что совпадает с формулой (6) при θ=0. Аналогично, формула (12) при 𝑣/𝑐≪1 даёт выражение, совпадающее с формулой (6), если в последней положить θ=π.
Во всех рассуждениях мы под частотой молчаливо подразумевали частоту излучения, регистрируемого неподвижным в данной системе отсчёта приёмником. Изменение частоты происходило только за счёт движения источника. На самом деле в случае электромагнитного излучения, распространяющегося в вакууме, все полученные формулы остаются справедливыми и при движении приёмника излучения, только в этом случае под 𝒗 следует понимать относительную скорость - скорость источника относительно приёмника. ▲
5. Фотонный парус.
На неподвижное идеальное плоское зеркало массы 𝑚 нормально к его поверхности падает плоская световая волна. Под действием силы светового давления зеркало приходит в движение. Определить конечную скорость зеркала и энергию отражённой от него волны, если энергия падающей волны равна 𝑊₀.
△ На протяжении всей книги мы много раз убеждались, что очень многие задачи можно решить, не вникая в детали происходящих физических явлений. Для ответа на многие вопросы достаточно только представить общую картину рассматриваемых явлений и правильно применить подходящие фундаментальные законы сохранения. Так и в этой задаче. Точное динамическое решение здесь сопряжено с большими трудностями. В самом деле, энергия отражённой от зеркала волны зависит от того, как движется зеркало, а закон движения зеркала определяется его взаимодействием со световой волной. Однако совершенно ясно, что, независимо от механизма взаимодействия электромагнитной волны с зеркалом, должны выполняться законы сохранения энергии и импульса, поскольку рассматриваемая система - зеркало и световая волна - является замкнутой. Использование этих законов даёт возможность без труда решить эту задачу даже с учётом релятивистских эффектов, когда становится существенной зависимость массы движущегося тела от его скорости.
Приступим к решению задачи. Энергия падающей на зеркало световой волны равна 𝑊₀, а энергию отражённой волны обозначим через 𝑊₁. Вначале зеркало покоится. Тогда закон сохранения энергии можно записать в виде
𝑊₀
+
𝑚₀𝑐²
=
𝑊₁
+
𝑚₀𝑐²
√1-𝑣²/𝑐²
.
(1)
Так как энергия электромагнитного поля 𝑊 связана с его импульсом 𝑝 соотношением
𝑝
=
𝑊
𝑐
,
(2)
то закон сохранения импульса принимает вид
𝑊₀
𝑐
=-
𝑊₁
𝑐
+
𝑚₀𝑣
√1-𝑣²/𝑐²
.
(3)
Знак минус в первом члене правой части формулы (3) соответствует тому, что отражённая от зеркала волна движется в обратном направлении. Для исключения энергии отражённой волны 𝑊₁ умножим обе части равенства (3) на 𝑐 и сложим почленно с (1). Тогда получим