2𝑊₀
+
𝑚₀𝑐²
=
𝑚₀𝑐²
√1-𝑣²/𝑐²
(1+𝑣/𝑐)
.
(4)
Простыми преобразованиями выражение (4) можно привести к виду
𝑐+𝑣
𝑐-𝑣
=
⎛
⎜
⎝
1
+
2𝑊₀
𝑚₀𝑐²
⎞²
⎟
⎠
.
(5)
Отсюда получим выражение для конечной скорости зеркала 𝑣:
𝑣
=
𝑐
⎛
⎜
⎝ 1 +
2𝑊₀
𝑚₀𝑐²
⎞
⎟
⎠ - 1
⎛
⎜
⎝ 1 +
2𝑊₀
𝑚₀𝑐²
⎞
⎟
⎠ + 1
.
(6)
Теперь найдём энергию отражённой волны 𝑊₁. Для этого вычтем из выражения (1) равенство (3), умноженное на 𝑐:
𝑚₀𝑐²
=
2𝑊₁
+
𝑚₀𝑐²
⎛
⎜
⎝
𝑐-𝑣
𝑐+𝑣
⎞½
⎟
⎠
,
(7)
откуда с помощью (5) легко находим энергию отражённой волны 𝑊₁:
𝑊₁
=
𝑊₀
1+2𝑊₀/𝑚₀𝑐²
.
(8)
Интересно отметить, что энергия отражённой волны не может превышать половины энергии покоя зеркала, какой бы большой ни была энергия падающей волны. Действительно, пренебрегая единицей в знаменателе (8), мы только увеличим правую часть, поэтому
𝑊₁
<
𝑊₀
2𝑊₀/𝑚₀𝑐²
=
𝑚₀𝑐²
2
.
Таким образом, чем больше энергия падающей волны, тем большая часть этой энергии передаётся зеркалу. При 𝑊₀≫𝑚₀𝑐² практически вся энергия волны передаётся зеркалу. Отражается только малая часть энергии, равная, как мы только что видели, 𝑚₀𝑐²/2. Подчеркнём ещё раз, что этот результат мы получили, совершенно не вникая в механизм взаимодействия электромагнитной волны с веществом, из которого сделано зеркало!
Интересно отметить другой предельный случай, когда энергия падающей волны много меньше энергии покоя зеркала: 𝑊₀≪𝑚₀𝑐². В этом нерелятивистском случае формулы (6) и (8) можно упростить. В знаменателе выражения (6) можно вторым слагаемым в скобках пренебречь по сравнению с единицей, а в числителе при возведении скобки в квадрат следует сохранить удвоенное произведение, ибо единицы взаимно уничтожаются. В результате получаем
𝑣
𝑐
≈
2𝑊₀
𝑚₀𝑐²
.
(9)
Так как при 𝑥≪1 справедлива приближённая формула (1+𝑥)-1≈1-𝑥 то выражение (8) при 𝑊₀≪𝑚₀𝑐² можно привести к виду
Δ𝑊
𝑊₀
=
𝑊₀-𝑊₁
𝑊₀
≈
2𝑊₀
𝑚₀𝑐²
.
(10)
Из этих соотношений видно, что в этом случае волна почти целиком отражается от зеркала, передавая ему лишь ничтожную часть своей энергии. Поэтому «фотонный парус» может быть эффективным только тогда, когда энергия падающей на него волны сравнима с его энергией покоя. ▲
6. Фотоэффект и рентгеновское излучение.
На шарик электрометра падает рентгеновское излучение. Угол отклонения стрелки перестаёт изменяться, когда разность потенциалов между шариком электрометра и землёй достигает значения 𝑈=8 кВ. Какова длина волны падающего рентгеновского излучения? Какое напряжение 𝑉 подано на электроды рентгеновской трубки?
△ Прежде всего выясним, откуда берётся заряд на шарике электрометра. Если электрометр предварительно не был заряжен, то единственная причина появления зарядов - фотоэффект, вызываемый рентгеновским излучением. При выбивании электронов шарик прибора заряжается положительно. Однако с ростом заряда на шарике увеличивающееся электрическое поле не даёт выбитым электронам возможности улететь, если их кинетическая энергия недостаточно велика. С учётом тормозящего действия возникающего электрического поля уравнение Эйнштейна, т.е. закон сохранения энергии для элементарного акта фотоэффекта, запишется в виде
ℎν
=
𝐴
+
𝑚𝑣²
2
+
𝑒𝑈
.
(1)
В этом выражении 𝐴 - работа выхода электрона из материала шарика электрометра, 𝑣 - скорость вылетевшего электрона на большом расстоянии от шарика, 𝑈 - разность потенциалов между шариком электрометра и землёй, 𝑒 - абсолютная величина заряда электрона.
Очевидно, что увеличение заряда шарика будет продолжаться до тех пор, пока его потенциал не достигнет такого значения, при котором все выбитые электроны будут возвращаться на электрометр. Другими словами, 𝑈 в правой части уравнения (1) достигает максимального значения, когда скорость выбитого электрона 𝑣 на бесконечности обращается в нуль.
Таким образом, при заданной частоте ν рентгеновского излучения установившееся значение напряжения 𝑈 на электрометре определяется соотношением
ℎν
=
𝐴
+
𝑒𝑈
.
(2)
Из уравнения (2) мы могли бы определить частоту падающего рентгеновского излучения но известному напряжению 𝑈, если бы мы знали работу выхода 𝐴. Однако в условии задачи не указано, из какого материала сделан шарик электрометра, но совершенно ясно, что он металлический. Характерное значение работы выхода электронов из металлов составляет несколько электрон-вольт (например, для серебра 4,7 эВ). Между тем заданное значение напряжения на электрометре равно 8 кВ, т.е. второй член в правой части уравнения (2) примерно на три порядка больше первого. Поэтому можно пренебречь величиной 𝐴 по сравнению с 𝑒𝑈. В результате получаем
ℎν
=
𝑒𝑈
.
(3)
откуда для длины волны рентгеновского излучения λ находим
λ
=
𝑐
ν
=
𝑐ℎ
𝑒𝑈
.
Подставляя числовые значения, получаем λ≈1,5⋅10-10 м = 0,15 нм. Разумеется, что это есть граничное, наименьшее возможное значение длины волны. При этом в спектре рентгеновского излучения могут присутствовать и большие длины волн, причём любой интенсивности.
Для ответа на второй вопрос задачи остаётся выяснить, каким должно быть напряжение на электродах рентгеновской трубки для того, чтобы найденная нами длина волны λ была бы наименьшей в излучаемом спектре.
Рентгеновское излучение бывает двух типов - характеристическое и тормозное. Характеристическое излучение возникает при переходах электронов между глубокими уровнями энергии атома при возбуждении последнего в результате столкновения с быстрым электроном. Как и оптическое излучение отдельных атомов, характеристическое рентгеновское излучение состоит из отдельных дискретных линий, причём для каждого химического элемента характерен свой набор линий. Тормозное рентгеновское излучение испускается самими налетающими электронами при их замедлении в веществе антикатода рентгеновской трубки. Это излучение, в отличие от характеристического, имеет непрерывный спектр. Рассматривая элементарный акт тормозного излучения, можно убедиться, что сплошной спектр имеет коротковолновую границу λ₀, и связать её с ускоряющим напряжением 𝑉 на рентгеновской трубке.
Как мы видели, свободный равномерно движущийся электрон не излучает. Поэтому рентгеновское излучение возникает только при взаимодействии разогнанного электрона с веществом антикатода. Если считать, что при этом вся кинетическая энергия электрона может целиком превратиться в излучение, то граничную частоту ν₀ можно определить сразу из соотношения