Обе схемы, Нордстрёма и Калуцы, разработанные независимо друг от друга, базировались на идее увеличения размерности пространства-времени. Для математиков или матфизиков, привыкших к пьянящему воздуху Геттингена, введение дополнительного измерения было таким же простым делом, как сложение чисел. Одно измерение для линий, два измерения для квадрата и три для куба. Добавим еще одно измерение и получим гиперкуб. Так же как куб является трехмерным объектом, ограниченным шестью квадратами, гиперкуб является четырехмерным объектом, ограниченным восемью кубами. Прибавьте к этим четырем измерениям время, и вы получите пятимерное пространство-время, в котором временному измерению обычно присваивается четвертый номер, а дополнительному пространственному измерению — пятый.
Однако экспериментаторам из мейнстрима той эпохи концепция пятого измерения представлялась чем-то заимствованным из книг Герберта Уэллса или бульварной прессы, а никак не подлинной наукой. Помимо времени, не существовало никаких видимых свидетельств наличия других измерений дополнительно к длине, ширине и высоте. Теория, использующая пять измерений, казалась такой же невероятной, как если бы учила проходить сквозь стены или добывать золото из воздуха.
Калуца опередил скептиков, использовав в своей теории цилиндрические условия, чтобы сделать прямое наблюдение пятого измерения невозможным. Также как хомячок, который бегает в колесе, никуда не сдвигается, в теории Калуцы все наблюдаемые величины не изменяются при перемещении в пятом измерении. Поскольку пятое измерение закольцовано, оно не дает заметных эффектов, кроме своего неявного воздействия, привносящего электромагнетизм в общую теорию относительности. Пятое измерение надежно спрятано за сценой, поэтому любые возражения экспериментаторов могли быть сняты.
Первой реакцией Эйнштейна было желание похвалить статью Калуцы как превосходящую статью Вейля. В отличие от теории Вейля, она не искажала известные соотношения, такие как величины пространственно-временных интервалов. Однако, выполнив ряд вычислений, основанных на теории Калуцы, Эйнштейн поскучнел. Пытаясь описать движение электронов при совместном воздействии электромагнитного и гравитационного полей, он не смог получить разумное решение. Вместо этого он столкнулся с математическим препятствием в виде сингулярностей — мест, где одна или несколько величин становятся бесконечными. Нужно было каким-то образом удалить из теории эти проблемные точки, как удаляют больной зуб.
Указав на недостаток теории Калуцы, Эйнштейн очертил новое направление для расширения общей теории относительности: создание теории движения электронов в пространстве. Боровская модель атома объясняла основные спектральные линии простых элементов, таких как водород, показывая, как квантование момента импульса и энергии ограничивает движение электронов дискретными орбитами. Однако она не предлагала полной теории движения электронов в других случаях, например при их полете в катодной трубке. Исследуя последствия различных подходов к объединению, Эйнштейн использовал дилемму электронов в качестве пробного камня.
Эддингтон был полностью согласен с Эйнштейном по поводу важности проблемы электрона. Используя теорию Вейля в качестве отправной точки, Эддингтон предложил альтернативную единую теорию, основанную на изменении аффинной связности и создании четырехмерной геометрии, отличной от геометрии Римана. И все-таки он не был уверен, что его теория адекватно объясняет движение электронов. Эддингтон писал: «При выходе за пределы евклидовой геометрии возникает гравитация; при выходе за пределы римановой геометрии возникают электромагнитные силы; что остается для дальнейших обобщений? Очевидно, это будут не те максвелловские силы, которые удерживают электрон в атоме. Но проблема электрона довольно сложна, и я не могу сказать, удастся ли с помощью данного обобщения предложить методы для ее решения»{48}.