Арифметика – и как она изменилась
Числа и позиционная система
Ребенок впервые сталкивается с математикой, когда учится называть числа и считать предметы; многие дети овладевают этими навыками к моменту поступления в школу. Поэтому, если у ваших детей первый этап уже позади, вы, возможно, решите пропустить данную главу. Однако все же нам хотелось бы на мгновение задержать вас и напомнить о том, какая это хитрая и сложная штука, наша система счисления. Древний римлянин или грек, телепортированный в первый класс современной школы, застыл бы в благоговейном изумлении перед системой записи чисел – ведь «1» в ней может означать и одну вещь, и десять, и даже тысячу. Что же касается запятой в десятичной дроби и странных слов, таких как «сорок» или «девяносто», обозначающих почему-то «четыре десятка» и «девять десятков» соответственно, то они просто поставили бы беднягу в тупик. Числа совсем не так просты, как нам, привыкшим к ним взрослым, кажется. Не стоит удивляться, что многие дети, научившись считать, долгие годы не могут разобраться в «позиционной системе».
В этой главе мы расскажем немного о том, как человечество обзавелось нынешней системой счисления и как ее сегодня преподают в школах. Мы также познакомим вас с кое-какими играми и другими приемами, которые помогут вам закрепить знания ваших детей об этой системе и могут оказаться такими же интересными и полезными для десятилетних детей, как и для дошколят.
Проблемы, которые часто возникают у детей в связи с числами и позиционной системой записи:
1. Дети думают, что 6000 – это на один больше, чем 5099.
2. Записывают «сто тридцать шесть» как 10 036.
3. Не сознают, что в числе 243 содержится 24 группы по 10, а не просто четыре десятка.
4. Думают, что 3,453 меньше 3,35, потому что в первом числе присутствуют тысячные.
5. Думают, что 0,75 меньше 0,203, потому что 75 меньше 203.
История десятичной системы
Наша система счисления работает следующим образом: объекты в ней группируются в десятки, десятки десятков слагаются в сотни, десятки сотен образуют тысячи и т. д. Выбор именно десятки в качестве основы для счета объясняется, конечно, тем, что у каждого из нас на руках по десять пальцев – и на ногах тоже, для ровного счета.
Эта система десяток («десятичная») настолько нам знакома, что кажется почти естественной – ну, просто числа так устроены. На самом же деле этой системе в том виде, в каком мы ее знаем, – то есть с сотнями, десятками, единицами и всем остальным, – а также ее каждодневному применению для расчета денег и различных измерений, всего несколько сотен лет. Мы знаем, что детям требуется не один год, чтобы научиться «расшифровывать» написанные значки и бегло читать; точно так же и на освоение придуманной нами системы называния, чтения и записи чисел нужно время.
Идея группировать числа по десяткам получила признание много веков назад, о чем явно свидетельствует изобретение абака. Первые абаки делались из глины и имели желобки, в каждом из которых помещалось девять небольших камешков. Как только счет доходил до десяти, вместо десяти камешков клали один – причем уже в следующий желобок. Когда и этот желобок заполнялся девятью камешками, с появлением десятого все десять опять заменялись на один, который вновь оказывался в следующем желобке. Записывать не было нужды – камешки в желобках помогали следить за счетом. Для обозначения более крупных групп использовались особые символы, к примеру, X для десятки и C для сотни в римской системе.
Ранние системы счисления не имели знака для обозначения нуля. В конце концов, если в желобке абака нет ни одного камешка, то как обозначить пустоту? У римлян 305 записывалось просто как CCCV, а тот факт, что в числе нет десяток, с очевидностью вытекал из отсутствия в записи знаков X.
Римская система записи чисел основывалась исключительно на использовании семи букв. Обратите внимание, что ими обозначались не только 1, 10, 100 и 1000 (числа, которые мы используем в качестве позиций в нашей десятичной системе), но и 5, 50 и 500. Для чисел от 4000 и выше над числом проводили горизонтальную линию, означавшую «тысячи», так что, к примеру, X обозначает 10 000. В римском числе I, Х и C не всегда означают 1, 10 и 100. Если поместить их слева от (соответственно) X, C и M, они означают отнять 1, отнять 10 и отнять 100. Поэтому IX, к примеру, означает 10 – 1 = 9, а CD означает 500 – 100 = 400. Чаще всего сегодня римские числа используются при традиционной записи дат (поэтому когда на телеэкране после программы пробегают титры, нам, чтобы понять их, приходится кое-что быстро расшифровывать).