Кеплер рассматривает обобщение правильных многогранников, введя понятие конгруэнции и конгруэнтных фигур. Его определение этих понятий отличается от принятых теперь. Мы называем фигуры конгруэнтными, если сохраняется неизменным расстояние между двумя соответствующими точками фигур, а конгруэнцией, или конгруэнтным преобразованием,— такое, которое сохраняет это расстояние неизменным. Кеплер понимает под конгруэнцией вид соединения простых фигур (как плоских, так и пространственных) в более сложные, причем новую получающуюся фигуру он также называет конгруэнцией: «Конгруэнция различается в плоскости и в пространстве. На плоскости имеет место конгруэнция, когда отдельные углы нескольких фигур так примыкают друг к другу в точке, что между ними не остается никакого промежутка». Для пространственной конгруэнции дается аналогичное определение, только плоский угол заменяется пространственным {13, с. 64}.
Замечательно определение § XII книги II, которое связывает понятие конгруэнции как с фигурами на плоскости, так и с фигурами в пространстве: «Плоские фигуры являются конгруэнтными, когда они или замыкаются в пространственную фигуру, или же заполняют плоскость без промежутков, при этом фигуры должны быть правильными или полуправильными» {13, с. 66}.
Путь, по которому идет Кеплер, строя свои конгруэнции на плоскости и в пространстве, содержит в себе весьма простую идею. В распоряжении Кеплера имеется набор (правильных) многоугольников, выстроенный в порядке увеличения числа сторон. Затем он поочередно располагает эти многоугольники вокруг одной точки с тем, чтобы они образовывали на плоскости некоторую фигуру без зазоров и нахлестов. Вначале Кеплер рассматривает возможность построения такой фигуры из многоугольников одного вида (например, треугольников), а затем переходит к более сложным фигурам, составленным из многоугольников различного вида (например, треугольников и четырехугольников), постепенно все более усложняя фигуры и комбинации. Таким образом он перебирает все возможные случаи я приходит к выводу, что имеется лишь три типа регулярных паркетажей, которые могут быть продолжены на всю плоскость до бесконечности: шесть треугольников вокруг каждой вершины, четыре четырехугольника вокруг каждой вершины и три шестиугольника вокруг каждой вершины.
Итак, усложняя постепенно имеющиеся в его распоряжении элементы, Кеплер строит в плоскости сложную фигуру вокруг точки-вершины. Эту фигуру он и называет конгруэнцией. Аналогичным образом он строит и пространственные конгруэнции. При этом в основе его рассуждений лежит несколько весьма простых утверждений: «Для того чтобы в плоскости образовать конгруэнцию, каждый раз надо иметь по меньшей мере 3 плоских угла (предложение XIV). Для построения пространственного угла необходимо по меньшей мере три плоских угла (предложение XV). Сумма углов, которые в плоскости образуют конгруэнцию, всегда равна 4 прямым и никогда больше; в пространстве она меньше 4 прямых (предложение XVI). Пусть две поверхности не больше, чем третья. Тогда они не могут составить пространственный угол (аксиома XX)» {13, с. 66, 72}.
Вот почти все исходные положения Кеплера. Остается только удивляться, что, основываясь на столь простых предпосылках, он смог перечислить все пространственные конструкции (конгруэнции), аналогичные тринадцати архимедовым телам. Более того, он открыл, что существует два бесконечных семейства тел: призмы (с квадратами на боковой поверхности) и антипризмы (с равносторонними треугольниками на боковой поверхности). Наконец, в процессе исследования проблемы Кеплер пришел к выводу, что правильные многогранники могут быть составлены не только из правильных выпуклых многоугольников, но и из правильных звездчатых многоугольников: «Пятиугольные звезды замыкаются по всем сторонам в пространстве; получающиеся фигуры имеют при вершинах в одном случае 12 пятигранных углов, а в другом — 20 трехгранных. Первая звезда стоит на трех вершинах, вторая на пяти ...Хотя у них снаружи не видно правильных граней, тем не менее они представляют собой равнобедренные треугольники, построенные на стороне пятиугольника как на основании. В одной плоскости располагаются всегда пять таких треугольников; они группируются вокруг скрытого в пространстве пятиугольника, являющегося их сердцем, с которым они все вместе образуют пятиконечную звезду, которая по-немецки называется «ведьминой ногой», а для Теофраста Парацельса означала символ здоровья... Родство этих фигур — одной с додекаэдром, а другой с икосаэдром столь велико, что дает возможность рассматривать эти последние, особенно додекаэдр, как обрубок, или торс, по сравнению с соответствующим звездчатым телом» {13, с. 77}.