Даже после выхода доказательства Линдемана поток энтузиастов не иссякал, однако благодаря этому доказательству стала точно известна заведомая ошибочность всех подобных решений. Особо следует выделить тех, кто, подобно Сриниваса Рамануджану (1887–1920), знал, что задача не имеет решения, и находил приближенные построения с удивительной точностью. Так, с помощью одного из построений Рамануджана можно получить значение
Построение квадратуры круга (приближенное) за авторством Рамануджана. Погрешность составила лишь 0,0000000010072!
Глава 3
Число π и теория вероятностей
В основе теории вероятностей — только здравый смысл, сведенный до исчисления.
Пьер Симон маркиз де Лаплас
Может показаться, что теория вероятностей никак не связана с π. Тем не менее это далеко от истины. Скажем для начала, что 0,6079271018… = 6/π2 — это вероятность того, что два произвольно выбранных числа окажутся взаимно простыми. Это доказал Р. Шартр в 1904 году. Кроме этого, π2/6 = ζ (2), что устанавливает любопытную связь между π и загадочной функцией Римана ζ. Это также идет в копилку взаимосвязи между π и теорией вероятностей, хотя в теории вероятностей π — явный незваный гость. Наконец, это указывает на определенную корреляцию между π и простыми числами.
Огастес де Морган как-то объяснял страховому агенту математическую задачу о расчете вероятности того, что все члены определенной группы людей будут живы по прошествии некоторого времени. Из теории вероятностей следовало, что в итоговом значении будет фигурировать π. Страховой агент, убежденный, что де Морган ошибся, указал ему на это. Как может случиться, что число π применимо к продаже страховок? Откуда оно взялось? Тем не менее де Морган был прав: связь между ожидаемой продолжительностью жизни, страховыми полисами и числом π действительно существует, и называется она «нормальное распределение».
В этой главе мы покажем подобные таинственные соотношения. История начинается с вторжения благородного французского графа де Бюффона в мир математики. Бюффон решил изучить поведение иглы, которая падает на плоскость, не прокалывая ее, с математической точки зрения.
На листе бумаги нарисовано несколько параллельных прямых, расстояние между которыми одинаково. На лист произвольным образом бросают иголку. Когда игла пересечет одну из линий?
В простейшем случае длина иглы l равна расстоянию d между линиями. Обозначим за у расстояние между центром иглы (ее предполагаемым центром тяжести) и одной из линий сетки. Примем d = l = 1 для упрощения вычислений. Обозначим за х угол, образованный иглой и горизонтальной осью. Будем измерять этот угол в радианах, так как нам понадобятся минимально необходимые инструменты математического анализа, в частности некоторые интегралы.
Из элементарной геометрии очевидно, что если верно неравенство
y =< (1/2)∙sin x,
то игла пересечет линию. Это будет отправной точкой наших расчетов. На следующем рисунке изображен график функции y = (1/2)∙sin x:
ЖОРЖ ЛУИ ЛЕКЛЕРК ГРАФ ДЕ БЮФФОН (1707–1788)
Этот французский ученый оставил свой след в различных науках. Он был биологом, писателем, занимался космологией и математикой. Его главным трудом является монументальная «Естественная история» в 36 томах с 8 приложениями. В области космологии наиболее значительным вкладом Бюффона стала гипотеза о возрасте Земли, вычисленном по результатам исследований охлаждения железа. Гипотеза вызвала серьезный протест со стороны церкви. Он перевел на французский труды Ньютона и внес вклад в теорию вероятностей, опубликовав работу «Опыт моральной арифметики», в которой, помимо прочего, содержалась знаменитая задача о падении иглы на лист с нанесенными параллельными линиями.
Граф де Вюффон занимался многими науками, но известен прете всего как натуралист.
* * *
Чтобы оценить площадь закрашенной области, множество точек которой является решением неравенства y =< (1/2)∙sin x, необходимо вычислить интеграл