F = |q1q2|/4πε0r2
Это третий закон Кеплера, где Р — период обращения планеты вокруг Солнца, m1 и m2 — масса Солнца и планеты, а — большая полуось орбиты, G — гравитационная постоянная:
p2 = [4π2/G(m1 +m2)]∙a3
Принцип неопределенности Гейзенберга для частицы со средним значением координаты х и средним импульсом р, где h — нередуцированная постоянная Планка:
ΔxΔy >= h/4π
Космологическая константа, где G — гравитационная постоянная, с — скорость света, р — плотность материи и излучения:
= (8πG/3c2)∙p.
Можно предположить, что следующие формулы будут интересны только специалистам, поэтому мы не будем продолжать. Стоит отметить, что эти и другие физические формулы не используются для расчетов Я, но их полезно знать каждому образованному человеку.
Простейшие формулы прежде всего относятся к так называемым коническим сечениям — кривым, получаемым в результате рассечения конуса плоскостью. В следующих формулах r обозначает радиус.
Длина окружности:
L = 2πг.
Площадь круга:
S = πr2.
Площадь эллипса с полуосями а и Ь:
S = πаЬ.
Площадь правильного многоугольника с n сторонами и длиной стороны а:
S = (1/4)∙na2ctg (π/n)
Площадь поверхности сферы:
S = 4πr2
Общая площадь поверхности цилиндра с высотой h:
S = 2πr∙(r + h).
Общая площадь поверхности конуса с образующей g:
S = πr∙(r + g).
Объем сферы:
V = (4/3)∙πr3.
Объем эллипсоида с полуосями а, Ь и с:
V = (4/3)∙πabc
Объем цилиндра с высотой h:
V = πr2h.
Объем конуса с высотой h:
V = πr2h/3.
Также, разумеется, существуют и другие формулы, в которых используется π и очень сложные интегралы.
Под простой формулой будем понимать любую формулу, найденную до наступления компьютерной эры. С наступлением эпохи компьютеров математики сосредоточили внимание на вычислении знаков π с наибольшей эффективностью. Красота расчетов уступила место эффективности вычислений. Простое перечисление формул будет достаточно громоздким, но у нас не остается другого выхода:
В последней формуле использован круговой интеграл. Предполагается, что обход дуги окружности осуществляется против часовой стрелки.
Важное место среди математических формул с числом π занимают ряды:
Подобные ряды могут иметь и такой вид:
Существуют также ряды, связывающие π и загадочную дзета-функцию Римана ζ (s):
В последнем случае В2n — числа Бернулли, изучаемые в высшей математике. Для справки приведем первые несколько чисел Бернулли:
Возможно, перечисление рядов — не совсем то, чего ожидал читатель. Рассмотрим подробнее простой пример: первый ряд из нашего списка, именуемый формулой Лейбница. Рассмотрим ряд
1/(1 + x2) = 1 — x2 + x4 — x6 + x8 — …,
сходящийся при |х| < 1. Можно проинтегрировать его почленно и использовать интегральное исчисление для расчетов:
Приняв х = 1, увидим, что доказательство близится к завершению. Чтобы подтвердить правильность полученного результата для х = 1, учитывая, что этот результат верен для |х| < 1, нужно выполнить еще несколько действий. Запишем исходный ряд, но остановимся на (n — 1) — м члене, записав остаток так, как если бы речь шла об n-м члене: