Проинтегрировав почленно от 0 до 1 и приняв х = 1, имеем
При переходе к пределу при n —> оо последний член стремится к нулю. Следовательно,
actg 1 = π/4 = 1–1/3 + 1/5 — 1/7 + 1/9 — …
К сожалению, этот ряд не слишком удобен для расчетов π, так как он сходится слишком медленно. Чтобы получить десять знаков π, нужно найти сумму 1050 членов ряда — число поистине астрономическое. Из очевидных соображений мы не будем повторять эти действия для всех ранее приведенных рядов. Это было бы слишком трудоемко, но мы не получили бы никаких новых результатов. Следующий ряд иногда называют рядом Грегори-Лейбница. В действительности его нужно было бы именовать рядом Мадхавы из Сангамаграма, так как именно этот индийский математик первым открыл формулу. Этот ряд записывается так:
где Fn — это числа Фибоначчи, элементы числовой последовательности, в которой каждое число является суммой двух предыдущих:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144….
Также π фигурирует в так называемых бесконечных произведениях. Следующую формулу вывел Джон Валлис (1616–1703):
Ее можно свести к интегралу
путем трудоемких математических преобразований. Лорд Броункер (1620–1684) преобразовал эту формулу в цепную дробь.
Авторство следующего бесконечного произведения принадлежит Эйлеру:
Оно имеет особенность: в нем используются только простые числа, как и в другом бесконечном произведении, еще более необычном:
Здесь используются простые числа pk вкупе с тригонометрическими функциями. Воображение Эйлера поистине не знало пределов.
ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКИЙ (ОК. 1170 — ОК. 1250)
Этот итальянский математик известен под многими именами. После смерти его стали называть Фибоначчи (сын Боначчи), и именно под этим именем он известен потомкам. Его отец был торговцем, постоянно путешествовал и брал Фибоначчи с собой. В путешествиях Фибоначчи познакомился со многими культурами и хорошо изучил индийскую систему счисления и арабскую математику. Он был уважаемым человеком своего времени, другом императора Священной Римской империи Фридриха II. Фибоначчи получал жалование от города Пизы, где ему платили за занятия наукой, точнее, за то, что он размышлял на полезные темы, связанные с торговлей. Его современники не проявляли особого интереса к абстрактным вопросам: некоторые результаты, полученные Фибоначчи, привлекли к Себе внимание лишь спустя 300 лет после его смерти. Самое известное его произведение — «Книга абака» 1202 года, в которой встречается знаменитая последовательность, носящая его имя:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89….,
в которой каждый элемент равен сумме двух предыдущих. Фибоначчи применил этот ряд в решении известной задачи о кроликах. В «Книге абака» содержатся другие похожие задачи, но известность в Европе книга приобрела благодаря изложению практических задач современным и понятным языком. Иными словами, читатели не возражали против рассуждений о π, но на самом деле их больше интересовали советы по использованию позиционной системы счисления с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0. Вопросы, связанные с бухгалтерией, мерами, весами, монетами, распределением прибыли, требовали ответов и разъяснений. Фибоначчи написал и другие книги по чистой математике, в которых освещались важные задачи геометрии, теории чисел и уравнения, но в свое время они не вызвали того резонанса, которого заслуживали.
* * *
Классический результат, приведенный ниже, принадлежит французскому математику Франсуа Виету (1540–1603):
Это произведение, само по себе красивое с точки зрения математики, можно преобразовать в еще более прекрасное выражение, что сделал Хоаким Мунхаммар в 2000 году:
Число пар кроликов Fn в поколении n при отсутствии смертей и при условии, что первая пара кроликов в первом поколении не размножается, подчиняется правилу Fn = Fn-1 + Fn-2n
Fn называются числами Фибоначчи.
* * *
Вывод формулы Виета на современном языке выглядит следующим образом. Будем использовать треугольник, который применял еще Архимед. Обозначим основание треугольника за Ь, угол, образованный высотой h и стороной треугольника, за ОС.