Σi(b-bi(t)-γ sin(li(t)+φ)2→min,
где суммирование производится по всем звездам i из рассматриваемой совокупности, bi — широта i-й звезды в каталоге «Альмагеста», bi(t), li(t) — истинные широта и долгота звезды i в году t.
Решением этой задачи являются параметры φstat(t) и γstat(t). А задающие ошибку в определении положения эклиптики при условии, что звездный каталог был составлен в году t, а минимальное значение суммы представляет собой квадрат среднеквадратичной широтной ошибки в рассматриваемой совокупности звезд после компенсации систематической ошибки. Назовем это минимальное значение «остаточной ошибкой», т. е. ошибкой, которая остается в каталоге после компенсации систематической составляющей.
Затем мы рассмотрели следующие семь совокупностей звезд, семь областей звездного неба «Альмагеста». См. рис. 1.14.
Рис. 1.14. Семь областей, выделяющихся на звездном небе «Альмагеста». Эти области характеризуются различной точностью измерений
ОБЛАСТЬ М — это Млечный Путь.
ОБЛАСТЬ А — большая область справа от Млечного Пути, содержащая точку осеннего равноденствия и завершающаяся зодиаком.
ОБЛАСТЬ В — это меньшая область слева от Млечного Пути, содержащая точку весеннего равноденствия и завершающаяся зодиаком.
ОБЛАСТЬ С — это южная часть неба справа от Млечного Пути, расположенная за зодиаком.
ОБЛАСТЬ D — это южная часть неба слева от Млечного Пути, расположенная за зодиаком.
ОБЛАСТЬ Zod А — это часть зодиака, попавшая в область А.
ОБЛАСТЬ Zod В — это другая часть зодиака, попавшая в область В.
ОБЛАСТЬ А — самая большая из них. Через Zod мы обозначили все звезды зодиака в «Альмагесте». Из рис. 1.6 видно, — какие именно созвездия «Альмагеста» попали в эти выделенные нами семь областей звездного неба.
Для каждой из этих совокупностей звезд были найдены графики функций φstat(t) и γstat(t), вместе с соответствующими доверительными интервалами. На рис. 1.15 показан вид этих кривых для области Zod А. Также мы нашли среднеквадратичные ошибки до и после компенсации систематических ошибок. Анализ данных показывает, что наиболее хорошо измеренными в «Альмагесте» совокупностями звезд являются области А и Zod А. На каком основании сделан этот вывод?
Рис. 1.15. График параметров, описывающих ошибку в определении положения эклиптики для области Zod А
Во-первых, сравниваются исходная и остаточная ошибки. Если это снижение значительно, — как в области Zod А, где ошибка снижается с уровня 22' до 13', — то есть основания говорить о малой величине случайной ошибки.
Во-вторых, принимается во внимание размер доверительной области для обнаруженных параметров φstat(t) и γstat(t). Так, для областей Zod А и А ширина доверительного интервала для γstat(t) составляет всего около 10′, а например, для области D — существенно больше. Кроме того, как говорилось, снижение ошибки от первоначального уровня до «остаточного» для области D незначительно. Поэтому говорить об уверенном определении систематической ошибки для этой части неба нельзя. Можно лишь утверждать, что ошибка лежит в пределах доверительной области. Но такое неточное знание систематической ошибки для данной области, — например для D, — приводит к тому, что мы не имеем права основывать наши последующие заключения на рассмотрении координат звезд из групп, обладающих подобными свойствами. Это замечание очень важное и будет нами использовано в дальнейшем. Напомним, что цена деления шкалы каталога «Альмагеста» составляет 10 минут, это — «заявленная точность» каталога. Другими словами, — точность, на которую претендовал составитель каталога «Альмагеста». Другой вопрос: смог ли он реально достичь этой точности? Этот вопрос был решен нами описанным выше методом. Кроме того, таким же приемом были изучены и отдельные созвездия. Это позволило установить, что систематические ошибки в каталоге, сделанные наблюдателем для больших участков неба, в основном совпадают с систематическими ошибками, обнаруживающимися при анализе отдельных созвездий каталога «Альмагеста». Оказалось, в частности, что созвездия Рыбы, Овен, Телец, Водолей относятся к группе плохо измеренных созвездий, а Близнецы, Рак, Лев, Дева, Весы, Скорпион, Стрелец, Козерог — к группе хорошо измеренных созвездий. Здесь мы говорим о созвездиях зодиака. Эти результаты хорошо согласуются с выводами, сделанными на основе рассмотрения больших совокупностей звезд, а именно, по несколько сотен звезд в каждой совокупности.