(r+is)(p+iq)=rp+r(iq)+(is)p+(is)(iq)=rp+i(rq)+i(sp)+(ii)(sq)=(rp-sq)+i(rq+sp), (22.4)
потому что ii=i2=-1. Теперь мы получили общее выражение для чисел, удовлетворяющих правилам (22.1).
Умудренные опытом, полученным в предыдущих разделах, вы скажете: «Рано говорить об общем выражении, надо еще определить, например, возведение в мнимую степень, а потом можно придумать много алгебраических уравнений, ну хотя бы x6+3x2=-2, для решения которых потребуются новые числа». В том-то и дело, что, кроме действительных чисел, достаточно изобрести только одно число — квадратный корень из -1, после этого можно решить любое алгебраическое уравнение! Эту удивительную вещь должны доказывать уже математики. Доказательство очень красиво, очень интересно, но далеко не самоочевидно. Действительно, казалось бы, естественнее всего ожидать, что по мере продвижения в дебри алгебраических уравнений придется изобретать снова, снова и снова. Но самое чудесное, что больше ничего не надо изобретать. Это последнее изобретение. Изобретя комплексные числа, мы установим правила, по которым с этими числами надо обращаться, и больше ничего изобретать не будем. Мы научимся возводить комплексные числа в комплексную степень и выражать решение любого алгебраического уравнения в виде конечной комбинации уже известных нам символов. К новым числам это не приведет. Например, квадратный корень из i, или ii— опять те же комплексные числа. Сейчас мы рассмотрим это подробнее.
Мы уже знаем, как надо складывать и умножать комплексные числа; сумма двух комплексных чисел (р+iq)+(r+is) — это число (p+r)+i(q+s). Но вот возведение комплексных чисел в комплексную степень — уже задача потруднее. Однако она оказывается не труднее задачи о возведении в комплексную степень действительных чисел. Посмотрим поэтому, как возводится в комплексную степень число 10, не в иррациональную, а комплексную; нам надо знать число 10(r+is). Правила (22.1) и (22.2) несколько упрощают задачу
10(r+is)=10r10is (22,5)
Мы знаем, как вычислить 10r, перемножить числа мы тоже умеем, не умеем только вычислить 10is. Предположим, что это комплексное число x+iy. Задача: дано s, найти х и у. Если
10is=x+ iy,
то должно быть верным и комплексно сопряженное уравнение
l0-is=x-iy,
(Некоторые вещи можно получить и без вычислений, надо просто использовать правила.) Перемножая эти равенства, можно получить еще один интересный результат
10is10-is=100=1=(x+iy)(x-iy)=x2+y2(22.6)
Если мы каким-то образом найдем х, то определить у будет очень легко.
Однако как все-таки возвести 10 в мнимую степень? Где искать помощи? Правила нам уже не помогут, но утешает вот что: если удастся возвести 10 в какую-нибудь одну мнимую степень, то ничего не стоит возвести 10 уже в любую степень. Если известно 10is для одного значения s, то вычисление в случае вдвое большего s сводится к возведению в квадрат и т. д. Но как же возвести 10 в хотя бы одну мнимую степень? Для этого сделаем дополнительное предположение; его, конечно, нельзя ставить в один ряд с правилами (22.1) и (22.2), но оно приведет к разумным результатам и позволит нам шагнуть далеко вперед. Предположим, что «закон» 10e=1+2,3025e (когда e очень мало) верен не только для действительных, но и для комплексных e. Если это так, то 10is=l +2,3025·is при s®0. Предполагая, что s очень мало (скажем, равно 1/1024), мы получаем хорошее приближение числа 10is.