А=А0аn. (25.10)
Но, конечно, n~t, поэтому общее решение будет произведением какой-нибудь периодической функции sinwt или соswt на амплитуду, которая ведет себя примерно как bt. Если b положительно и меньше единицы, то его можно записать в виде е-c.
Вот почему решение задачи о колебаниях при учете трения будет выглядеть примерно как
ехр(-ct)coswt. Это очень просто.
Что случится, если трение не будет таким искусственным; например обычное трение о стол, когда сила трения постоянна по величине, не зависит от размаха колебаний и меняет свое направление каждые полпериода? Тогда уравнения движения станут нелинейными; решить их трудно, поэтому придется прибегнуть к описанному в гл. 2 численному решению или рассматривать по отдельности каждую половину периода. Самым мощным, конечно, является численный метод; с его помощью можно решить любое уравнение. Математический анализ используется лишь для решения простых задач.
Надо сказать, что математический анализ вообще не такое уж могучее средство исследования; с его помощью можно решить лишь простейшие возможные уравнения. Как только уравнение чуть усложняется, его уже нельзя решить аналитически. Численный же метод, с которым мы познакомились в начале курса, позволяет решить любое уравнение, представляющее физический интерес.
Пойдем дальше. Что можно сказать о резонансной кривой? Как объяснить резонанс? Представим сначала, что трения нет и мы имеем дело с чем-то, что может колебаться само по себе. Если подталкивать маятник каждый раз, когда он пройдет мимо нас, то очень скоро маятник начнет раскачиваться, как сумасшедший. А что случится, если мы закроем глаза и, не следя за маятником, начнем толкать его с произвольной частотой, с какой захотим? Иногда наши толчки, попадая не в ритм, будут замедлять маятник. Но когда нам посчастливится найти верный темп, каждый толчок будет достигать маятника в нужный момент и он будет подниматься все выше, выше и выше. Таким образом, если не будет трения, то для зависимости амплитуды от частоты внешней силы мы получим кривую, которая выглядит, как сплошная линия на фиг. 25.5.
Фиг. 25.5. Резонансная кривая, отражающая разнообразные виды трения.
Качественно мы поняли резонансную кривую; чтобы найти ее точные очертания, пожалуй, придется прибегнуть к помощи математики. Кривая стремится к бесконечности, если w®w0, где w0— собственная частота осциллятора.
Предположите, что существует слабое трение. Тогда при незначительных отклонениях осциллятора влияние трения сказывается слабо и резонансная кривая вдали от максимума не изменяется. Однако около резонанса кривая уже не уходит в бесконечность, а просто поднимается выше, чем в остальных местах. Когда амплитуда колебаний достигает максимума, работа, совершенная нами в момент толчка, полностью компенсирует потери энергии на трение за период. Таким образом, вершина кривой закруглена, и она уже не уходит в бесконечность. Чем больше трение, тем больше сглажена вершина кривой. Кто-нибудь может сказать: «Я думал, что ширины резонансных кривых зависят от трения». Так можно подумать, потому что резонансные кривые рисуют, принимая за единицу масштаба вершину кривой. Однако если нарисовать все кривые в одном масштабе (это прояснит дело больше, чем изучение математических выражений), то окажется, что трение срезает вершину кривой! Если трение мало, мы можем подняться высоко по резонансной кривой; когда трение сгладит кривую, мы на том же интервале частот поднимаемся на меньшую высоту, и это создает ощущение ширины. Таким образом, чем выше пик кривой, тем ближе к максимуму точки, где высота кривой равна половине максимума.