§ 4. Приближенное вычисление иррациональных чисел
Теперь такой вопрос: как возвести число в иррациональную степень? Например, нам хочется узнать, что такое 10Ц2 . Ответ в принципе очень прост. Возьмем вместо Ц2 его приближение в виде конечной десятичной дроби — это рациональное число. Возводить в рациональную степень мы умеем; дело сводится к возведению в целую степень и извлечению корня. Мы получим приближенное значение числа 10Ц2 . Можно взять десятичную дробь подлиннее (это снова рациональное число). Тогда придется извлечь корень большей степени; ведь знаменатель рациональной дроби увеличится, но зато мы получим более точное приближение. Конечно, если взять приближенное значение Ц2 в виде очень длинной дроби, то возведение в степень будет делом очень трудным. Как справиться с этой задачей?
Вычисление квадратных корней, кубичных корней и других корней невысокой степени — вполне доступный нам арифметический процесс; вычисляя, мы последовательно, один за другим, пишем знаки десятичной дроби. Но для того, чтобы возвести в иррациональную степень или взять логарифм (решить обратную задачу), нужен такой труд, что применить прежнюю процедуру уже не просто. На помощь приходят таблицы. Их называют таблицами логарифмов или таблицами степеней, смотря по тому, для чего они предназначены. Они экономят время: чтобы возвести число в иррациональную степень, мы не вычисляем, а только перелистываем страницы.
Хотя вычисление собранных в таблицы значений — процедура чисто техническая, а все же дело это интересное и имеет большую историю. Поэтому посмотрим, как это делается. Мы
вычислим не только x=10 V2 , но решим и другую задачу: 10x=2, или x=log102. При решении этих задач мы не откроем новых чисел; это просто вычислительные задачи. Решением будут иррациональные числа, бесконечные десятичные дроби, а их как-то неудобно объявлять новым видом чисел.
Подумаем, как решить наши уравнения. Общая идея очень проста. Если вычислить 101 и 101/10, и 101/100, и 101/1000, и т. д., а затем перемножить результаты, то мы получим 101,414..., или 10 Ц2 . Поступая так, мы решим любую задачу такого рода. Однако вместо 101/10 и т. д. мы будем вычислять 101/2, 101/4 и т. д. Прежде чем начинать вычисления, объясним еще, почему мы обращаемся к числу 10 чаще, чем к другим числам. Мы знаем, что значение таблиц логарифмов выходит далеко за рамки математической задачи вычисления корней, потому что
logb(ac)= logba+logbc. (22.3)
Это хорошо известно всем, кто пользовался таблицей логарифмов, чтобы перемножить числа. По какому же основанию b брать логарифмы? Это безразлично; ведь в основу таких вычислений положен только принцип, общее свойство логарифмической функции. Вычислив логарифмы один раз по какому-нибудь произвольному основанию, можно перейти к логарифмам по другому основанию при помощи умножения. Если умножить уравнение (22.3) на 61, то оно останется верным, поэтому если перемножить все числа в таблице логарифмов по основанию b на 61, то можно будет пользоваться и такой таблицей. Предположим, что нам известны логарифмы всех чисел по основанию b. Иначе говоря, можно решить уравнение bа=с для любого с; для этого существует таблица. Задача состоит в том, как найти логарифм этого же числа с по другому основанию, например х. Нам нужно решить уравнение ха'=с. Это легко сделать, потому что х всегда можно представить так: x=bt. Найти t, зная х и b, просто: t=logbx. Подставим теперь х=btв уравнение xa' =с; оно перейдет в такое уравнение: (bt)а'=bta'=с. Иными словами, произведение ta' есть логарифм с по основанию b. Значит, a'=a/t. Таким образом, логарифмы по основанию х равны произведениям логарифмов по основанию b на постоянное число 1/t. Следовательно, все таблицы логарифмов эквивалентны с точностью до умножения на число 1/logbx. Это позволяет нам выбрать для составления таблиц любое основание, но мы решили, что удобнее всего взять за основание число 10. (Может возникнуть вопрос: не существует ли все-таки какого-нибудь естественного основания, при котором все выглядит как-то проще? Мы попытаемся ответить на этот вопрос позднее. Пока все логарифмы будут вычисляться по основанию 10.)