J. N.
H. A. De Bary, Die Mycetozoen (Schleim-pilze) [Leipzig, 1859 ; 2e éd., 1864]. / A. et G. Lister, A Monograph of the Mycetozoa (Londres, 1894 ; 3e éd., 1925). / T. H. Mac Bride et G. W. Martin, The Myxomycetes (New York, 1934). / W. D. Gray et C. J. Alexopoulos, Biology of the Myxomycetes (New York, 1968). /
G. W. Martin et C. J. Alexopoulos, The Myxomycetes (Iowa City, 1969). / J.-P. Larpent, De la cellule à l’organisme. Acrasiales, Myxomycètes, Myxobactériales (Masson, 1970).
N
Ensemble des entiers naturels.
Cet ensemble est défini par les
axiomes de Giuseppe Peano.
1. Dans l’ensemble N existe une application f qui à tout élément x de l’ensemble N associe son successeur x+ = f(x), unique, tel que, si deux élé-
ments x et y de l’ensemble N ont même successeur, x+ = y+, alors ils sont égaux,
x = y.
2. Il existe un élément de l’ensemble N, appelé zéro, noté 0, qui n’est le successeur d’aucun élément de N.
3. Tout sous-ensemble de l’ensemble N
qui contient 0 et le successeur de chacun de ses éléments est confondu avec l’ensemble N.
Le successeur de zéro existe, puisque tout nombre de l’ensemble N a un successeur ; c’est le nombre 1, appelé un.
Si x+ est le successeur de x, x est le pré-
décesseur de x+.
Tout nombre entier naturel autre que zéro a un prédécesseur unique.
En effet, le successeur de zéro est 1, 0+ = l, et 0 est le prédécesseur de 1. D’autre part, si n a un prédécesseur, n+, successeur de n, a pour prédécesseur n, etc. ; ainsi, tous les nombres qui suivent n ont un prédécesseur ; comme 1 a un prédécesseur, on prend n = 1, et tous les nombres de l’ensemble N
ont un prédécesseur qui est unique. En effet, s’il existait un élément n tel que n ∈ N possédant deux prédécesseurs différents p et q, on ne pourrait avoir p+ = q+ = n d’après l’axiome 1.
Opérations dans N
Addition
Cette opération interne pour l’ensemble N peut être définie axiomatiquement d’une façon conforme à l’idée intuitive de la sommation.
∀ n et m ∈ N, on pose n + 0 = n,
n + m+ = (n + m)+.
On déduit de cette définition les propriétés suivantes :
n + 1 = n + 0+ = (n + 0)+ = n+ ou n+ = n + 1.
Le successeur d’un nombre est donc le suivant au sens habituel du mot.
D’autre part, étant donné un entier naturel n fixé, on connaît n + 0 = n, n + 1 = n+ ; si M est l’ensemble des entiers m de l’ensemble N pour lesquels la somme n + m est définie, c’est-à-dire calculable, la connaissance de n + m entraîne celle de
n + m+ = (n + m)+ = (n + m) + 1.
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La Grande Encyclopédie Larousse - Vol. 14
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L’ensemble M est donc confondu avec l’ensemble N, puisqu’il contient m + 1
dès qu’il contient m, car
(n + m) + 1 = n + (m + 1),
comme cela résulte de l’associativité de l’addition.
y Associativité de l’addition. L’égalité n + 0 = n entraîne
m + (n + 0) = m + n = (m + n) + 0.
L’égalité
m + (n + p) = (m + n) + p
est donc vraie pour p = 0. Si elle est vraie pour p, alors
m + (n + p)+ =
= [m + (n + p)]+ = [(m + n) + p]+ = (m
+ n) + p+.
Elle est donc vraie pour p+ et, par suite, pour tout entier p.
y Commutativité de l’addition. On peut la démontrer en trois étapes.
1. On a n + 0 = 0 + n ; cette égalité est vraie pour n = 0 ; si elle est vraie pour
n, alors
n+ + 0 = n+ = (n + 0)+ = (0 + n)+ = 0
+ n+.
Elle est donc vraie pour n+ et, par suite, pour tout entier n de l’ensemble N.
2. n + 1 = 1 + n ; cette égalité est vraie pour n = 0 d’après ce qui précède ; si elle est vraie pour n, alors
n+ + 1 = (n + 1) + 1 = (n + 1)+ = (1 + n
)+ = 1 + n+.
Elle est donc vraie pour tout élément n de l’ensemble N.
3. n + m = m + n ; cette égalité est vraie pour n = 0 ; si elle est vraie pour m fixé et pour un certain élément n, alors n+ + m = (n + 1) + m = n + (1 + m) =
n + (m + 1),
car n+ = n + 1 ; puisque l’addition est associative,
n+ + m = (n + m) + 1 = (m + n) + 1 =
= m + (n + 1) = m + n+.
L’égalité n + m = m + n est donc vraie pour tout élément n ∈ N.
Ces démonstrations reposent uni-
quement sur les axiomes de Peano et la définition axiomatique de l’addition.
y Régularité de l’addition. Dans
l’ensemble N, tout élément est régulier pour l’addition
m + n = p + n m = p ;
dans cette double implication logique, c’est l’élément n qui est régulier.
Multiplication
On la définit axiomatiquement par
∀ n et m ∈ N, n × 0 = 0 ;
n × m+ = (n × m) + m.
Comme pour l’addition, ces définitions sont conformes à nos connaissances intuitives, et l’on construit aisément le produit de deux entiers naturels. Par exemple,
n × 1 = n × 0+ = n × 0 + n = 0 + n = n ou n × 1 = n.
y La multiplication est distributive à droite et à gauche par rapport à l’addition :
(m + n)p = mp + np et
p(m + n) = pm + pn.
y La multiplication est associative : a(bc) = (ab)c.
y La multiplication est commutative : mp = pm.
y Zéro est absorbant pour la
multiplication :
0 × n = 0, ∀n ∈ N.
y Le produit de deux nombres non
nuls est non nul ;
mn ≠ 0 m ≠ 0 et n ≠ 0
ou
mn = 0 m = 0 ou n = 0.
y Tout nombre non nul est régulier pour la multiplication :
mn = pn m = p,
sauf si n = 0.
y 1 est élément neutre pour la
multiplication
1 × n = n.
Structure d’ordre de N
On peut définir sur l’ensemble N une relation d’ordre de la façon suivante : le signe indique que n est supérieur ou égal à m, p étant un entier naturel éventuellement nul ; cette définition correspond à la notion intuitive d’iné-
galité : n est plus grand que m si n est égal à m augmenté d’un autre nombre.
D’autre part, la relation est une relation d’ordre au sens large, c’est-à-dire qu’elle est réflexive, antisymétrique et transitive.
1. n n puisque n = n + 0 (réflexivité).
2. n m et m n n = m + p,
m = n + q n = n + p + q p + q = 0
p = 0 n = m (antisymétrie).
3. n m n = m + p ; m r
m = r + q n = r + (p + q) n r (transitivité).
L’inégalité n m peut se noter de
la même façon On définit aussi
dans l’ensemble N une relation d’ordre au sens strict qui est simplement antisymétrique et transitive :
∀n et m ∈ N, n > m ∃p ∈ N, p ≠ 0, n = m + p.
Cette relation introduit une restriction, p ≠ 0, ce que l’on note aussi p ∈ N*, avec N* = N – {0}.
La relation d’ordre est compatible avec l’addition et la multiplication de l’ensemble N :
Il faut introduire une restriction en ce qui concerne la compatibilité avec la multiplication si l’on prend la relation au sens strict :
p ≠ 0 et n > m np > mp,
mais, si l’on ne sait rien sur l’élé-
ment p, l’inégalité n > m peut entraîner l’égalité np = mp si p = 0.
La structure d’ordre sur l’en-
semble N est une structure d’ordre
total, c’est-à-dire que deux entiers n et m de l’ensemble N sont toujours comparables :
y On appelle majorant (respecti-
vement majorant strict, minorant, minorant strict) d’un sous-ensemble de l’ensemble de N, tout élément
de cet ensemble supérieur ou égal (respectivement strictement supé-
rieur, inférieur ou égal, strictement inférieur) à tous les éléments de ce sous-ensemble.
Le successeur d’un entier natu-
rel est le plus petit de ses majorants stricts ; le prédécesseur, s’il existe (il n’existe pas dans le cas de zéro), est le plus grand des minorants stricts. Tout sous-ensemble non vide de l’ensemble N admet un élément minimal unique (plus petit que tous les autres). Tout sous-ensemble non vide et majoré de N