admet un élément maximal (plus grand que tous les autres).
y Un ensemble fini est un ensemble en correspondance biunivoque avec un intervalle [1, n] de l’ensemble N.
Le nombre n est le cardinal de cet ensemble. La réunion, l’intersection, le produit cartésien de deux ensembles finis sont finis, et l’on a
card. A + card. B = card. (A ∪ B) + ca rd. (A ∩ B).
L’ensemble N a la puissance du
dénombrable.
Division des entiers
naturels
Si a ∈ N et b ∈ N*, a est multiple de b s’il existe un élément q ∈ N tel que downloadModeText.vue.download 92 sur 625
La Grande Encyclopédie Larousse - Vol. 14
7535
a = bq ; c’est dire que a appartient à la suite :
Nb = {0, b, 2b, 4b, ..., nb, ...} n ∈ N.
On dit aussi que b divise a ou est un diviseur de a ; on note b/a « b divise a » ; le nombre q s’appelle le quotient
de a par b, et l’on note équivalant à a = bq.
La relation de divisibilité dans l’ensemble N est :
— réflexive puisque a = a × 1 ;
— antisymétrique puisque a = bq
et b = aq′, b ≠ 0 et a ≠ 0 entraînent a = aqq′, d’où qq′ = 1 et q = q′ = 1, d’où a = b ;
— transitive puisque a = bq, b = cq′
entraînant a = c(qq′), d’où c/a.
C’est donc une relation d’ordre au sens large. Mais cet ordre est partiel.
En effet, étant donné deux entiers naturels quelconques a et b, a ne divise pas b et b ne divise pas a. Par exemple, le nombre a se place entre deux des nombres de la suite Nb, et l’on peut écrire
a = bq + r avec 0 < r < b ;
q est non nul si a > b ; si a < b, q = 0
et r = a. On peut résumer en une seule identité :
le cas où b divise a et celui où b ne divise pas a ; c’est l’identité de la division : q est le quotient, et r est le reste ; a est le dividende, et b le diviseur.
Propriétés de la division
1. Lorsqu’on multiplie (ou divise, si c’est possible) le dividende et le diviseur par un même nombre, le quotient ne varie pas et le reste est multiplié (ou divisé) par ce nombre.
2. Pour former le quotient de a par le produit bc, on peut diviser a par b, puis le quotient obtenu par c (ou inversement). Cette propriété se généralise à la division d’un nombre a par un produit de n facteurs, l’ordre des divisions successives étant indifférent.
3. Lorsque le dividende croît, le diviseur restant invariant, le quotient reste invariant ou augmente.
4. Lorsque le diviseur croît, le dividende restant invariant, le quotient
reste invariant ou diminue.
Divisibilité dans N
Un nombre premier est un nombre différent de 1 n’admettant comme diviseur que 1 et lui-même.
Un nombre composé est un nombre
de l’ensemble N différent de 1 et non premier ; tout nombre composé admet au moins un diviseur premier.
y Un nombre premier est premier
avec tout nombre qu’il ne divise pas.
y Pour qu’un nombre premier divise un produit de facteurs en nombre
quelconque, il faut et il suffit qu’il divise l’un de ces facteurs.
y Pour qu’un nombre premier divise un produit de facteurs premiers, il faut et il suffit qu’il soit égal à l’un d’eux.
y Tout nombre composé se décom-
pose en un produit de facteurs premiers distincts ou confondus, et la décomposition est unique.
y Étant donné deux entiers natu-
rels a et b, les diviseurs communs à a et b coïncident avec les diviseurs d’un nombre d qui est le plus grand diviseur commun à a et à b ; on note d = p. g. d. c. (a, b) ou d = a ∩ b ou d = a ∧ b ; les deux nombres a et b étant décomposés en produits de facteurs premiers, leur p. g. d. c. est le produit des facteurs communs affectés des plus faibles exposants des deux décompositions. Les nombres
et ont comme p. g. d. c. 1 ; ils
sont premiers entre eux :
Cette dernière égalité est caractéristique du p. g. d. c. de deux nombres : pour qu’un diviseur commun δ à a et downloadModeText.vue.download 93 sur 625
7536
à b soit leur p. g. d. c, il faut et il suffit que
Si on multiplie (ou si l’on di-
vise, quand cela est possible), deux nombres a et b par un même troisième k, le p. g. d. c. de a et de b est multiplié (ou divisé) par ce nombre. Mais si on multiplie (ou si l’on divise) l’un des deux nombres a ou b par un nombre premier avec l’autre, le p. g. d. c. de a′ et de b ou de a et de b′ (a′ = ka avec k ∩ b = 1 ou b′ = k ∩ b avec a ∩ k = 1) est égal à a ∩ b.
Théorème fondamental de la
divisibilité
Si un nombre divise un produit de deux facteurs et s’il est premier avec l’un d’eux, il divise l’autre. On en déduit que, si un nombre est divisible par des nombres premiers entre eux deux à deux, il est divisible par le produit de ces nombres.
y Étant donné plusieurs entiers naturels en nombre au moins égal à trois, il existe un nombre d qui est le plus grand diviseur commun à ces entiers naturels ; les diviseurs communs à ces entiers sont tous les diviseurs de d. Les propriétés énoncées pour le p. g. d. c. de deux entiers naturels s’étendent au cas d’un nombre fini quelconque d’entiers naturels.
y Étant donné deux entiers naturels non nuls a et b, il existe un nombre m multiple commun à a et à b, et tel que les multiples communs à a et à b soient les multiples de m (il y en a donc une infinité) ; m est le plus petit multiple commun, p. p. m. c. en abrégé, noté p. p. m. c. (a, b) ou a ∪ b ou a ∨ b. On a ab = md avec m = a ∪ b et d = a ∩ b ; il résulte de cette égalité que, si a et b sont premiers entre eux, a ∩ b = d = 1, m = ab : le p. p. m. c.
de a et b est égal au produit de ces deux nombres. De façon générale, on obtient le p. p. m. c. de deux nombres a et b en faisant le produit des facteurs communs ou non communs figurant dans les décompositions de a et b en produits de facteurs premiers et
en affectant chacun de ces facteurs du plus fort exposant. Si on multiplie (ou divise, si c’est possible) deux entiers naturels par un même nombre k,
le p. p. m. c. des entiers ainsi obtenus s’obtient en multipliant l’ancien p. p. m. c. par k (ou en divisant).
Pour qu’un multiple commun à a et à b, M, soit le p. p. m. c. de a et de b, il faut et il suffit que c’est-à-
dire que et soient premiers entre eux.
y Étant donné plusieurs entiers
naturels en nombre au moins égal à trois, il existe un nombre m qui est le p. p. m. c. à ces nombres ; les multiples communs à ces entiers naturels sont les multiples de m (en nombre infini). Les propriétés énoncées pour le p. p. m. c. de deux entiers naturels s’étendent au cas d’un nombre fini quelconque d’entiers naturels.
CARACTÈRES DE DIVISIBILITÉ
Les caractères les plus usuels sont les caractères de divisibilité par 2 et 5, 4 et 25, 3 et 9 et 11. Pour établir ces caractères, on fait appel aux congruences arithmétiques. Un nombre est divisible :
— par 2 si et seulement s’il
se termine par 0, 2, 4, 6, 8 ;
— par 5 s’il se termine par 0 ou 5 ;
— par 4 s’il se termine par 00, 04, 08, 12, 16, ..., 92, 96 (suite que l’on peut réduire à ses cinq premiers nombres en retranchant un multiple convenable de 20) ;
— par 25 s’il se termine par 00, 25, 50
ou 75.
y Reste de la division d’un nombre par 3 ou par 9. Le nombre écrit dans le système décimal
est en fait égal à
a = un . 10n + un–1 . 10n–1 + ... +
+ u2 . 102 + u1 . 10 + u0.
Comme 10 = 9 + 1 = 3 × 3 + 1, 10 est
« congru à 1 modulo 9 et modulo 3 », ce que l’on note :
10 ≡ 1(3) et 10 ≡ 1(9) ;
par suite, 10k ≡ 1(3) ou (9), d’où uk . 10k ≡ uk,
d’où a ≡ un + un–1 + ... + u2 + u1 + u0 : le reste de la division par 9 ou 3 d’un nombre a, écrit dans le système décimal, est égal au reste de la division de la somme des chiffres de ce nombre.