y Caractères de divisibilité par 3 ou par 9. Pour qu’un nombre soit divisible par 3
ou par 9, il faut et il suffit que la somme de ses chiffres soit divisible respectivement par 3 ou par 9.
y Caractère de divisibilité par 11.
Pour qu’un nombre soit divisible par 11, il faut et il suffit que la somme des chiffres de rang pair et la somme des chiffres de rang impair soient congrues modulo 11.
EXEMPLE :
a = 5 467 883 014 est divisible par 11, car 5 + 6 + 8 + 3 + 1 ≡ 4 + 7 + 8 + 0
+ 4 ≡ 1 (11).
Nombres premiers
La suite des nombres premiers est infinie.
En effet, les nombres 2, 3, 5, 7, 11, ... sont premiers. Soit p le plus grand nombre premier connu et soit a = 2 × 3 × 5 × ... × p + 1 le nombre 2 × 3 × 5 × ... × p étant le produit de tous les nombres premiers connus
inférieurs ou égaux à p ; a > p ; si a est premier, on a montré l’existence d’un nombre premier supérieur à p ; si a n’est pas premier, il admet un diviseur premier p′ qui ne peut être égal ni à 2, ni à 3, etc., ni à p, car, sinon, p′, divisant a et le produit
2 × 3 × ... × p, devrait diviser leur différence 1, ce qui est impossible ; donc p′ > p, ce qui montre l’existence d’un nombre premier supérieur à p. Ainsi, on trouve indéfiniment des nombres premiers, mais ils se raréfient à mesure que l’on atteint les nombres de plus en plus grands. La quantité de nombres premiers inférieurs à x tend vers quand x tend vers
l’infini tout en restant entier, ce qui est en accord avec le fait qu’il existe une infinité de nombres premiers, puisque tend vers l’infini quand
x tend vers l’infini (x entier ou non).
En revanche, si
quand représentant en
quelque sorte la densité de nombres premiers au voisinage de x ou encore la probabilité pour x d’être premier.
Cette probabilité tend vers zéro avec D’ailleurs, il existe des intervalles de l’ensemble N aussi grands que l’on veut où on ne trouve aucun nombre premier.
EXEMPLE :
an = (n + 1)! + 1 est tantôt premier (n = 2), tantôt composé (n = 3). Mais les nombres
(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, ...,
(n + 1)! + n + 1
sont tous composés, car ils sont respectivement divisibles (au moins) par 2, 3, ..., n + 1. On a ainsi une suite de n nombres tous composés ; n peut être choisi aussi grand que l’on veut, par exemple un milliard, ce qui peut paraître extravagant, car on imagine difficilement (n + 1)!
dans ce cas. Le domaine mystérieux du
nombre est plein de propriétés étranges, quelquefois démontrées, d’autres fois conjecturées et bien souvent inconnues.
E. S.
F Algébrique sur un anneau commutatif (équation) / Anneau / Axiomatique (méthode) / Combinatoire (analyse) / Continu (puissance du) / Q / R
/ Z.
A. Chatelet, Arithmétique et algèbre modernes (P. U. F., 1954-1966 ; 3 vol.). / J. Itard, Arithmétique et théorie des nombres (P. U. F., coll. « Que sais-je ? », 1964 ; 3e éd., 1973) ; les Nombres premiers (P. U. F., coll. « Que sais-je ? », 1969). / O. Ore, Initiation to Number Theory (New York, 1966 ; trad. fr. Initiation à la théorie des nombres, Dunod, 1970). / C. S. Ogilvy et J. T. Anderson, Excursions in Number Theory (New York, 1969 ; trad. fr. Excursions dans la théorie des nombres, Dunod, 1970).
Quelques grands
noms de la théorie des
nombres
Leopold Kronecker (Liegnitz, Silésie, 1823 - Berlin 1891). Appartenant à une riche famille israélite, il entre en 1841 à l’université de Berlin, où il suit les cours de Gustav Lejeune-Dirichlet (1805-1859), de JACOBI* (1804-1851) et de Jacob Steiner (1796-1863). Sa thèse sur les Unités complexes (1845) se rapporte déjà à l’étude des nombres algébriques, domaine de recherches où il excellera toute sa vie. Après sa soutenance de thèse, Kronecker se consacre aux affaires et vient faire un séjour à Paris vers 1853, où il rencontre Charles HERMITE* et s’initie aux idées d’Évariste GALOIS*. Finalement, il s’installe à Berlin, où il professe à l’université, et il entre en 1861 à l’Académie des sciences de cette ville.
Son oeuvre est surtout consacrée à la théorie des nombres. Kronecker aurait voulu fonder toute la mathématique sur downloadModeText.vue.download 94 sur 625
La Grande Encyclopédie Larousse - Vol. 14
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le concept de nombre entier, et on lui prête cette formule lapidaire : « Dieu
fit le nombre entier, le reste est l’oeuvre de l’homme. » On connaît par ailleurs son hostilité irréductible à la théorie des ensembles de Georg CANTOR*.
Ernst Eduard Kummer (Sorau,
Prusse, 1810 - Berlin 1893). Orphelin de père à l’âge de trois ans, il peut, grâce aux sacrifices de sa mère, s’inscrire à l’université de théologie de Halle et devenir en 1831 docteur en philosophie. Professeur au gymnase de Liegnitz, il a pour élève Leopold Kronecker, puis il est nommé en 1842
à l’université de Breslau. En 1855, il succède à Gustav Lejeune-Dirichlet à l’université de Berlin et entre la même année à l’Académie des sciences de cette ville. Il sera nommé associé étranger de l’Académie des sciences en 1868. Kummer s’est surtout illustré en géométrie algébrique et dans la théorie des nombres. Les recherches de sir William Rowan Hamilton (1805-1865) sur les systèmes de rayons optiques lui ont inspiré des études sur les congruences de droites. En 1866, le cas des congruences algébriques l’amène aux surfaces focales des congruences d’ordre 2 ainsi qu’à la quartique, à laquelle son nom est resté attaché et qui est sa propre duale. Mais son véritable titre de gloire est la découverte qu’il fit des « nombres complexes idéaux ». Datant de 1844, celle-ci a été provoquée par ses recherches sur le grand théorème de Fermat : l’équation xm + ym = zm est impossible dans l’anneau des nombres entiers relatifs dès que le nombre entier m est supérieur à 2.
D’un maniement technique délicat, les nombres idéaux de Kummer ont donné naissance, en 1871, aux idéaux de Richard DEDEKIND*, qui ont envahi toute la mathématique moderne.
Ivan Matveïevitch Vinogradov (Milo-lioub, dans l’actuelle région de Kali-nine, 1891). Professeur à l’université de Perm en 1918, puis à celle de Leningrad en 1920, il dirige depuis 1932
l’Institut de mathématiques Steklov.
Membre de l’Académie des sciences de l’U. R. S. S., il est mondialement connu comme théoricien du nombre.
Vers 1923, il a commencé ses travaux sur l’hypothèse d’Edward Waring
(1734-1798), relative au nombre des représentations d’un nombre comme somme de puissances n positives. En
désignant par G(n) un nombre tel que les entiers qui ne sont décomposables qu’en plus de G(n) puissances n forment un ensemble fini, il a établi que G(n) < n(3 Log n + 11). En 1937, il a démontré encore l’hypothèse de Christian Goldbach (1690-1764) énoncée en 1742. Le théorème de Vinogradov établit que tout nombre impair assez grand est la somme de, au plus, trois nombres premiers absolus.
J. I.
Nabatéens
Peuple de caravaniers d’origine araméenne, mais très tôt arabisé, qui, du IVe s. av. J.-C. au IIe s. de notre ère a constitué un État au sud-est de la Palestine et au nord-ouest de la péninsule arabique.
Au IVe s. av. J.-C., les Nabatéens sont fixés dans cette région appelée par les géographes classiques Arabie Pétrée.
En 312 av. J.-C., l’un des successeurs d’Alexandre, Antigonos Monophtal-mos, organise deux expéditions contre les Nabatéens, qui lui payent un tribut ; ainsi, ceux-ci entrent-ils dans l’histoire. Diodore de Sicile, historien grec du Ier s. av. J.-C., les présente comme des caravaniers transportant par les pistes de l’Arabie l’encens, la myrrhe et les aromates de l’Arabie du Sud vers les ports de la Méditerranée. Les Nabatéens avaient établi leur entrepôt dans une vallée rocheuse, d’où lui vient son nom : la Roche ou la Pierre — Sela‘ en hébreu, Petra en grec.