Le point faible de cette avance foudroyante réside toutefois dans l’étroitesse de la brèche (30 km) ouverte entre Avranches et Mortain dans le dispositif allemand. Cette situation n’échappe pas à von Kluge, qui déclenche le 6 août avec 5 divisions une puissante contre-offensive sur Vire et sur Mortain, que les Allemands réussissent à reprendre le 7 août. Mais, débordé sur ses arrières et écrasé par les bombardements aériens alliés, von Kluge doit donner le 13 août l’ordre de retraite gé-
nérale. Entre-temps, les Britanniques réussissent à déboucher de Caen sur Thury-Harcourt. Les Canadiens du
général Henry Crerar (1888-1965)
s’emparent de Falaise le 17 août et font le 21 leur jonction avec les forces de la IIIe armée Patton à Chambois, réalisant ainsi l’encerclement, puis l’anéantissement de la VIIe armée allemande.
En Bretagne, les troupes allemandes, au nombre de 75 000 hommes, s’étaient regroupées autour des principaux ports de Saint-Malo, Brest, Lorient et Saint-Nazaire, dont elles organisèrent la dé-
fense. Après de rudes combats, Saint-Malo fut libéré le 14 août, mais il fallut mettre le siège devant Brest, qui ne tomba aux mains des Américains que le 18 septembre.
L’acte capital de la bataille était terminé, et la poursuite vers la Seine commençait aussitôt. Au nord, les Canadiens, lancés le long de la côte, libèrent Abbeville le 2 septembre. Les Britanniques, débouchant de la région de Rouen, atteignent Lille et Bruxelles le 3, Anvers le 4. Au sud, Patton occupe Orléans le 17 août, Fontainebleau le 21, Troyes le 25 ; son 12e corps franchit la Meuse aux ponts de Commercy et de Saint-Mihiel, et le 15 septembre atteint Nancy. Trois jours plus tôt, à sa droite, la 2e division blindée du général Leclerc opérait à Sombernon (12 km à l’ouest de Dijon), puis à Châtillon-sur-Seine sa jonction avec les unités de la Ire armée française du général de Lattre* débarquées en Provence le 15 août. Entre-temps, Paris s’était soulevé, et, les 24 et 25 août, les blindés du général Leclerc libéraient la capitale (v. Paris [libération de]). La bataille de Normandie était cette fois terminée, et les Alliés, toutes forces réunies, pouvaient s’élancer vers les frontières du Reich. Du 6 juin à la fin du mois d’août, le quartier général des forces expéditionnaires alliées (ou SHAEF) avait fait débarquer en Normandie plus de deux millions d’hommes (1,2 million d’Américains et 0,8 million de Britanniques), 438 000 véhicules et 3 100 000 tonnes de matériel.
P. A. V. et P. D.
F Guerre mondiale (Seconde).
D. Eisenhower, Report by the Supreme Commander to the Combined Chiefs of Staff on the Operations in Europe of the Allied Expe-ditionary Force (Londres et Washington, 1946 ; trad. fr. les Opérations en Europe des forces expéditionnaires alliées, 6 juin 1944 au 8 mai 1945, Charles-Lavauzelle, 1946). / E. Rommel, Krieg ohne Hass (Heidenheim, 1950 ; trad. fr.
la Guerre sans haine, Amiot-Dumont, 1952). /
G. Blond, le Débarquement, 6 juin 1944 (Fayard, 1951 ; nouv. éd., Presses de la Cité, 1972). /
A. G. Lemonnier, les Cent Jours de Normandie (France-Empire, 1961). / J. Mordal, la Bataille de France (Arthaud, 1964). / le Débarquement en Normandie, 6 juin 1944 (Hachette, 1964).
norme dans un
espace vectoriel
sur R
Application f d’un espace vectoriel E sur l’ensemble des nombres réels R dans l’ensemble des nombres réels positifs ou nuls R+, satisfaisant aux axiomes suivants :
Une semi-norme est une application définie par les seuls axiomes (1) et (2).
Propriétés d’une norme
ou d’une semi-norme
y L’axiome (1) entraîne que f(0) = 0
puisque 0 = 0x, x ∈ E et, par suite, f(0) = f(0x) = 0f(x) = 0 ; mais la réciproque n’est pas nécessairement vraie.
C’est pour cela que l’axiome (3) est nécessaire.
y Le même axiome entraîne que f
est positivement homogène puisque et que f(λx) = λf(x) pour λ > 0 ; l’axiome (2) traduit la convexité de f.
y Toute combinaison linéaire positive, c’est-à-dire à coefficients dans R+, de semi-normes est encore une semi-norme ; toute limite finie de semi-norme est aussi une semi-norme.
La norme (ou semi-norme) de x est notée || x ||.
Exemples de
semi-normes
1. Un exemple trivial est fourni
par le cas où E = R et où l’on prend
|| x || = | x |, valeur absolue de x ; il est alors évident que les trois axiomes sont vérifiés et on a une norme.
2. Si E = Rn, chaque vecteur de E a n composantes réelles, et à tout vecteur
x de E on associe sup | ξi |, avec x = (ξ1, ξ2, ..., ξi, ..., ξn) ; || x || = sup | ξi |, i ∈ [1, n] est une norme sur E, car : Enfin, | ξi | = 0 ne peut se produire que si tous les éléments ξi sont nuls, c’est-à-dire si x = 0. De même
est une norme dans E = Rn.
3. Si E = Rn et si x = (x1, x2, ..., xn), l’application f : E . R définie par est une norme.
Les axiomes (1) et (3) sont évi-
dents. Pour montrer l’axiome de
convexité (2), il faut vérifier que downloadModeText.vue.download 320 sur 625
La Grande Encyclopédie Larousse - Vol. 14
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ou pour i variant
de 1 à n, que
Cette inégalité est équivalente à puis à
et enfin à
Pour démontrer l’inégalité (4′), on considère le trinôme en λ :
qui est positif ou nul ; son discriminant est
puisque le trinôme garde un signe constant ; l’inégalité (4′) en résulte.
4. Si φ(x) est une forme linéaire sur E, f(x) = | φ(x) | est une semi-norme sur E.
Distance associée
à une norme
Si E est un espace vectoriel muni d’une norme f telle ∀ x ∈ E,
l’espace E est dit « normé ». L’application d de E × E dans R+, qui à tout
couple (x, y) de vecteurs de E associe le nombre réel positif ou nul || x – y ||, satisfait aux conditions suivantes.
1. d(x, y) = d(y, x).
2. Pour tout triplet (x, y, z) de vecteurs de E,
3. Pour que deux vecteurs x et y
soient égaux, il faut et il suffit que d(x, y) = 0.
4. Pour tout couple (x, y) de vecteurs de E et tout scalaire α ∈ R, on a d(αx, αy) = | α | d(x, y).
5. Pour tout triplet (x, y, z) de vecteurs de E, on a
d(x + z, y + z) = d(x, y).
Le nombre d(x, y) s’appelle distance des deux points x et y.
Ces propriétés sont des conséquences immédiates des axiomes définissant une norme dont elles ne sont souvent que des formulations différentes.
Espace métrique
Tout espace E sur R, muni d’une
norme, possède donc une distance d définie par
d(x, y) = || x – y ||, ∀x et y ∈ E.
Le couple (E, d) s’appelle un espace métrique. On peut alors considérer dans l’espace E une topologie associée à la métrique définie par la distance d.
1. Une boule ouverte ou fermée de centre a et de rayon ρ > 0 est l’ensemble B(a, ρ) des points x de E tels que d(a,x) < p (boule ouverte) ou (boule fermée). Si E = R 2, on remplace le mot boule par disque.
2. Une sphère de centre a et de rayon
est l’ensemble S(a, ρ) des points de E tels que d(a, x) = ρ. Si E = R 2, on remplace le mot sphère par cercle.
3. Un ouvert de E est tout sous-ensemble A de E vide ou tel que ∀x ∈ A, il existe une boule ouverte de centre x et de rayon non nul contenue dans A.
On vérifie simplement que de tels ensembles satisfont aux trois axiomes qui définissent les ouverts d’un espace topologique :
y E et l’ensemble vide, Ø, sont
ouverts ;
y toute réunion d’ouverts est un
ouvert ;
y toute intersection finie d’ouverts est un ouvert.
La définition d’un ouvert indique que tout ouvert de E est une réunion de boules ouvertes. Inversement, toute réunion de boules ouvertes est un ouvert. Pour le démontrer, il suffit de montrer que toute boule ouverte est un ouvert puisque tout élément x appartenant à une réunion de boules ouvertes est contenu dans au moins une boule ouverte B(a ρ). Or la boule ouverte B [x, ρ – d(a, x)] est contenue dans B(a, ρ). En effet,