МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОСУГИ
Теория галстучных узлов
Привычные всем детали одежды могут стать предметом серьезных научных изысканий и весьма далеких физических аналогий. Рациональная шнуровка ботинок, например, подчиняется так называемому принципу Ферма, лежащему в основе геометрической оптики (см. «Наука и жизнь» № 4,1997 г.). Механические напряжения в вечернем платье без бретелек поддаются расчету с точки зрения сопромата (см. «Наука и жизнь» № 4, 1996 г.). История галстука интересна сама по себе (см. «Наука и жизнь» № 10, 1979 г.), но не менее любопытно применение теории узлов к способам его завязывания.
Согласно легенде, у Альберта Эйнштейна был только один костюм, зато сразу в нескольких экземплярах — на каждый день недели. Благодаря этому великий физик мог не тратить драгоценное утреннее время на размышления, что же надеть. Однако не все ученые столь равнодушны к вопросам моды. Для некоторых из них детали гардероба могут, напротив, стать предметом серьезных научных исследований.
Сколько способов завязывания галстука вам известно? Скорее всего, один — тот, которым вы время от времени пользуетесь. Возможно, вы даже знаете два или три способа. Но четыре — наверняка уже предел. А вот исследователям из Кавендишской лаборатории в Кембридже Томасу Финку и Юнгу Мао известно целых 85 вариантов галстучных узлов. Правда, не все из них можно использовать на практике, особенно если вы собираетесь в приличное общество — слишком уж они бесформенны и асимметричны. Однако, как утверждают ученые, шесть из изобретенных ими способов вполне могут составить конкуренцию уже существующим.
До сих пор широкой публике было известно лишь четыре галстучных узла: простой, «Виндзор», «полувиндзор» и узел Пратта. Простой узел, или «four-in-hand», как его называют англичане, — самый старый. Он появился в Англии еще в конце XIX века. Кто именно его придумал — неизвестно. Зато следующий узел имеет, можно сказать, королевское происхождение. Его изобрел король Англии Эдуард VIII в 1936 году. Правда, к тому времени он уже отрекся от престола и назывался просто герцогом Виндзорским. Поэтому и узел получил название «Виндзор». Вслед за ним появился его упрощенный вариант — «полувиндзор». Для изобретения узла Пратта — четвертого по счету — понадобилось более 50 лет. В 1989 году об этом событии торжественно сообщалось на первой странице газеты The New York Times. По-видимому, следующего способа человечеству пришлось бы ждать еще полвека — если бы галстуками не заинтересовались физики.
Английские исследователи Томас Финк и Юнг Мао подошли к делу серьезно. Вместо того, чтобы бесконечно экспериментировать перед зеркалом, они свели задачу «о галстуке» к простой математической модели, в основу которой был положен часто используемый в термодинамике принцип «случайных шагов». Ученые представили процесс завязывания галстука как последовательность шагов, совершаемых случайным образом вдоль одного из трех возможных направлений. Поясним подробнее.
С чего начинается завязывание узла? Вы вешаете галстук на шею лицевой стороной вверх и скрещиваете его концы на груди. Пусть они лежат так, что широкий конец находится слева, проходя либо под узким концом лицевой стороной вниз, либо поверх него лицом вверх. Будем считать такое положение начальным. Все дальнейшие манипуляции производятся только с широким концом галстука. Перемещать его можно тремя способами: налево от узкого конца (Л), направо (П) и кверху от будущего узла (В). Это и есть «случайные шаги». Наложим на нашу модель ряд очевидных ограничений. Во-первых, каждое действие должно быть отличным от предыдущего, то есть последовательность из Л, П и В не должна содержать подряд две одинаковые буквы. Во-вторых, широкий конец должен по очереди перемещаться по направлению к рубашке (+) и от нее (—): например, Л+,П-,В+…. И, в-третьих, число возможных действий ограничено длиной галстука. Финк и Мао положили максимальное число шагов равным 9. Заключительное действие в каждой последовательности шагов — просовывание конца галстука сверху вниз через образовавшуюся спереди петлю (К) — в счет не идет.
Учтя все эти требования, исследователи подсчитали, что число возможных комбинаций равно 85. Более того, они не поленились и провели подробную классификацию всех полученных узлов по числу шагов, симметрии, сбалансированности. Симметрия определялась как разность числа шагов Л и П, а сбалансированность — как разность числа движении по часовой стрелке и против нее. Очевидно, что для хорошего узла обе величины должны быть минимальны. В результате было отобрано 10 наиболее устойчивых и красивых узлов, среди которых оказались четыре ранее известных (простой, «Виндзор», «полувиндзор», Пратта) и шесть совершенно новых, незаслуженно обделенных вниманием. Самим ученым, к примеру, полюбился узел «7,2» («7 шагов, из них 2 типа В»), что можно записать как Л-П+Л-В+П-Л+В-.