Остановимся теперь на физическом примере, в котором появляется четырехмерная дивергенция. Ею можно воспользоваться при решении задачи о полях вокруг движущегося проводника. Мы уже видели (гл. 13, § 7, вып. 5), что плотность электрического заряда r и плотность тока j образуют четырехвектор jm=(p, j). Если незаряженный провод переносит ток jx, то в системе отсчета, движущейся относительно него со скоростью v (вдоль оси х), в проводнике наряду с током появится и заряд [который возникает согласно закону
преобразований Лоренца (25.1)1:
Но это как раз то, что мы нашли в гл. 13. Теперь нужно подставить эти источники в уравнение Максвелла в движущейся системе и найти поля.
Закон сохранения заряда в четырехмерных обозначениях тоже принимает очень простой вид. Рассмотрим четырехмерную дивергенцию вектора jm :
(25.18)
Закон сохранения заряда утверждает, что утекание тока из единицы объема должно быть равно отрицательной скорости увеличения плотности заряда. Иными словами,
Подставляя это в (25.18), получаем очень простую форму закона сохранения заряда:
(25.19)
Благодаря тому, что Сmjm — инвариант, равенство его нулю в одной системе отсчета означает равенство нулю и во всех других. Таким образом, если заряд сохраняется в одной системе, он будет сохраняться и во всех других системах координат, движущихся относительно нее с постоянной скоростью.
В качестве последнего примера рассмотрим скалярное произведение оператора градиента Сm на себя. В трехмерном пространстве такое произведение дает лапласиан
Что получится для четырех измерений? Вычислить это очень просто. Следуя нашему правилу скалярного произведения, находим
Этот оператор, представляющий аналог трехмерного лапласиана, называется даламбертианом и обозначается специальным
символом
(25.20)
По построению он является скалярным оператором, т. е., если подействовать им, скажем, на четырехвекторное поле, возникает новое четырехвекторное поле. [Иногда даламбертиан определяется с противоположным по отношению к (25.20) знаком, так что при чтении литературы будьте внимательны!]
Итак, для большинства величин, перечисленных нами в табл. 25.1, мы нашли их четырехмерные эквиваленты. (У нас еще нет эквивалента векторного произведения, но его нахождение мы оставим до следующей главы.) А теперь соберем в одно место все важнейшие результаты и определения и составим еще одну таблицу (табл. 25.2); она поможет вам лучше запомнить, что во что переходит.
§ 4. Электродинамика в четырехмерных обозначениях
В гл. 18, § 6, мы уже сталкивались с оператором Даламбера, хотя и не знали, что он так называется. Мы нашли там дифференциальное уравнение для потенциалов, которое в новых обозначениях выглядит так:
(25.21)
С правой стороны (25.21) стоят четыре величины r, jx, j , jz, поделенные на e0 — универсальную постоянную, одинаковую во всех системах координат, если во всех системах для измерения заряда используется одна и та же единица. Таким образом, четыре величины r/jе0, jх/e0, jy/e0, jz/e0 тоже преобразуются как четырехвектор. Их можно записать в виде jz/е0. Оператор Даламбера не изменяется при переходе к другим системам координат, так что четыре величины j, Ах, Ауи Az тоже должны преобразоваться как четырехвектор, т. е. должны быть компонентами четырехвектора. Короче говоря, величина
есть четырехвектор. То, что мы называли скалярным и векторным потенциалами, оказывается только разными частями от одной и той же физической величины. Они неотделимы друг от друга. А если это так, то релятивистская инвариантность мира очевидна. Вектор Аmмы называем четырехмерным потенциалом (4-потенциалом).
В четырехмерных обозначениях (25.21) приобретает очень простой вид:
(25.22)
Физика этого уравнения та же, что и уравнений Максвелла. Но есть своя прелесть в том, что можно переписывать их в столь элегантной форме. Впрочем, эта красивая форма содержит и кое-что более значительное — из нее непосредственно видна инвариантность электродинамики относительно преобразований Лоренца.