§ 3. Сети идеальных элементов; правила Кирхгофа
Как мы видели в предыдущем параграфе, очень просто описывать идеальные элементы схем, говоря лишь о том, что происходит вне элемента. Ток и напряжение связаны линейно. Но очень сложно описать все то, что на самом деле происходит внутри элемента, и весьма трудно при этом пользоваться языком уравнений Максвелла. Представьте, что вам нужно точно описать электрические и магнитные поля внутри радиоприемника, состоящего из сотен сопротивлений, емкостей и самоиндукций
Фиг. 22.9. Сумма падений напряжения вдоль любого замкнутого пути равна нулю.
Было бы непосильным делом проанализировать такую мешанину, пользуясь уравнениями Максвелла. Но, делая множество приближений, которые мы описали в § 2, и переводя существенные черты реальных элементов схем на язык идеализации, можно проанализировать электрическую цепь сравнительно просто. Сейчас мы покажем, как это делается. Пусть имеется цепь, которая состоит из генератора и нескольких импедансов, между собой так, как показано на фиг. 22.9. Согласно нашим приближениям, в областях между отдельными элементами цепи магнитного поля нет. Поэтому интеграл от Е вдоль любой кривой, которая не проходит ни через один из элементов, равен нулю. Рассмотрим кривую Г, показанную штрихом на фиг. 22.9, которая обходит по цепи кругом. Контурный интеграл от Е вдоль этой кривой состоит из нескольких частей. Каждая часть — это интеграл от одного зажима элемента цепи до следующего. Мы назвали этот контурный интеграл падением напряжения на элементе цепи. Тогда весь контурный интеграл равен просто сумме падений напряжения на всех элементах цепи порознь:
А поскольку контурный интеграл равен нулю, то получается, что сумма разностей потенциалов вдоль всего замкнутого контура цепи равна нулю:
(22.14)
Этот результат следует из одного из уравнений Максвелла, утверждающего, что в области, где нет магнитных полей, криволинейный интеграл от Е по замкнутому контуру равен нулю. Теперь рассмотрим другую цепь (фиг. 22.10). Горизонтальная линия, соединяющая выводы а, b, с и d, нарисована для того, чтобы показать, что эти выводы все связаны менаду собой или что они соединяются проводами с ничтожным сопротивлением. Во всяком случае такой чертеж означает, что все выводы а, b, с, d находятся под одним потенциалом, а выводы е, f, g и h — тоже под одним. Тогда падение напряжения V на любом из четырех элементов одинаковое.
Но одна из наших идеализации состояла в том, что на выводах импедансов сосредоточиваются пренебрежимо малые количества электричества. Предположим теперь, что и электрическим зарядом, накапливаемым на соединительных проводах, тоже можно пренебречь. Тогда сохранение заряда требует, чтобы любой заряд, покинувший один из элементов цепи, немедленно входил в какой-либо другой элемент цепи. Или, что то же самое, чтобы алгебраическая сумма токов, входящих в любую из точек соединения, была равна нулю. Под точкой соединения мы понимаем любую совокупность выводов, таких, как а, b, с, d, которые соединены друг с другом. Такая совокупность соединенных между собой выводов обычно называется «узлом». Сохранение заряда, стало быть, требует, чтобы в цепи, показанной на фиг. 22.10, было
(22.15)
Сумма токов, входящих в узел, состоящий из четырех выводов е, f, g, h, тоже должна быть равна нулю:
(22.16)
Ясно, что это то же самое уравнение, что и (22.15). Оба эти уравнения не независимы. Общее правило гласит, что сумма токов, втекающих в любой узел, обязана быть равна нулю:
(22.17)
Наше прежнее заключение о том, что сумма падений напряжений вдоль замкнутого контура равна нулю, должно выполняться для каждого контура сложной цепи. Точно так же наш результат, что сумма сил токов, втекающих в узел, равна нулю, тоже должен выполняться для любого узла. Эти два уравнения известны под названием правил Кирхгофа.
Фиг, 22.10. Сумма токов, входящих в любой узел, равна нулю.
Фиг. 22.11. Анализ цепи с помощью правил Кирхгофа.