Аккуратные доказательства в книгах:
Н.И.Гольдфарб «Сборник вопросов и задач по физике», М., Высшая школа, 1973, задачи 7.6, 7.7.
Б.Б.Буховцев, В.Д.Кривченков и др. «Сборник задач по элементарной физике», М., Наука, 1974, задача 663.
Е.И.Бутиков, А. А.Быков, А.С.Кондратьев «Физика в примерах и задачах», М., Наука, 1989, стр.75–80.
• ВОПРОС № 27: В чем заключается теория возмущения?
ОТВЕТ: Теория возмущений позволяет исследовать сложную систему, если известна близкая к ней система, которая хорошо изучена (видимо потому, что она намного проще).
В широком смысле этого слова, теория возмущений есть совокупность методов разложения в ряд Тейлора по какому-нибудь малому параметру.
Ряд Тейлора функции f(х) в окрестности точки х0 есть f(х) = f(х0) + f'(х0)∙(х — х0) + f''(х0)∙(х — х0)2/2 + … + f(n)(х0) (х — х0)n/n! + …
где f'(х0) — первая производная f(х) в точке х0, f'' — вторая производная, f(n) — n-ая производная функции f(х) в точке х0. Разложение в ряд Тейлора позволяет находить значения функции в точке х, если известно ее локальное поведение вблизи точки х0 (т. е. известны значение функции f(х) в х0 и ее производные). Этот ряд — есть разложение по параметру х — х0. Если этот параметр мал (т. е. отклонение х от х0 невелико), то каждый член ряда мал по сравнению с предыдущим и для вычисления f(х) можно ограничиться небольшим количеством членов ряда.
Пример: ряд Тейлора для функции sin (х) вблизи точки х = 0 имеет вид sin (х) = х — х3/6 + х5/120 — … Вычислим с помощью этого ряда sin (30°) = sin (π/6) = 1/2. Нулевое приближение дает sin (π/6)пр = 0 (функция взята в точке х = х0). Это нас, естественно, не удовлетворяет, нам нужна первая неисчезающая поправка к значению равному нулю. В первом приближении, учитывая первое слагаемое ряда, имеем sin (π/6)пр= л/6 = 0.5236…, что уже гораздо лучше. Если же мы учтем второе кубическое слагаемое, то получим sin (π/6)пр= π/6 — (π/6)3/6 = 0.4997…
Если х — х0 велико, то ряд может сходиться медленно (и тогда от него мало пользы), а может и вообще расходиться. Т. е., теория возмущений работает, когда отклонение от известного значения (отклонение — это и есть возмущение) невелико.
Конкретная схема теории возмущений сильно зависит от задачи, которую надо решать, и методы теории возмущений очень разнообразны.
Степанов М.Г.
Подробнее в книгах:
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц «Механика», том 1 курса теоретической физики, М.: Наука, 1988.
А.Найфэ, «Методы возмущений», М: Мир.
• ВОПРОС № 28: Правда ли, что у планеты Земля есть двойник и его не видно, потому что он находится в противофазе?
ОТВЕТ: Задача определения движения 4-х и более тел под действием сил тяготения (а именно таковой является Солнечная система) в общем случае до сих пор не решена. Если в системе 3 тела, то есть несколько частных случаев, для которых есть точное решение. Впервые они были найдены Лагранжем в 1772 г. Суть его работы сводится к тому, что если заданы массы тел и положение 2-х тел на плоскости, то существует 5 точек, в которых может быть расположено третье тело, и система при этом будет устойчива. Таким образом:
а) если три тела расположены на одной прямой, то они обращаются, оставаясь на ней вокруг общего центра масс;
б) если три тела расположены в вершинах равностороннего треугольника, то они обращаются вокруг общего центра масс так, что треугольник остается все время равносторонним.
Если бы в нашей Солнечной системе было всего три тела: Солнце, Земля и двойник Земли в противофазе, то в соответствии с решением Лагранжа (а) система была бы устойчивой. Но поскольку в Солнечной системе небесных тел значительно больше трех, то несимметричные возмущения планетных орбит неизбежно приведут к нарушениям конфигурации системы и нарушению устойчивости планетных орбит.