Tr = — dW/d(2πг) = kQ2/(4π2Rr) (2)
(дополнительные 2π в знаменателе возникли потому, что на самом деле производная берется не по радиусу, а по длине окружности).
Анализируя выражения (1) и (2), можно видеть, что разрывающие силы пропорциональны квадрату заряда тора. Сила TR обратно пропорциональна квадрату радиуса большой образующей тора и слабо (логарифмически) зависит от отношения большого радиуса тора к малому. Сила Тг обратно пропорциональна как большому, так и малому радиусу тора.
Очевидно, что сила TR, стремящаяся растянуть наш тор вдоль большой окружности, меньше силы Тг, стремящейся растянуть его вдоль малой образующей (сделать бублик толще) в отношении TR/Tr = (r/R)∙ln(R/r). Поскольку логарифм является медленной функцией по сравнению со степенной, то при R» r TR/Tr ~ r/R.
Силы TR и Тг направлены вдоль поверхности тора нормально к малой и к большой образующим тора соответственно. Если сравнить силы натяжения на единицу длины σR = TR/(2πг) и σr = Tr/(2πR), то окажется, что натяжения поверхности тора по обоим направлениям практически равны (но вдоль длинной образующей натяжение все-таки немного (логарифмически) больше).
Т.е. видно, что «тонкий» тор (пер R >> r) будет разорван электростатическими силами, когда разрывающее усилие превзойдет предел прочности сплошного тора на разрыв:
kQ2/ 4π2R2) > σπr2,
где σ — предел прочности материала тора на разрыв.
Этот критерий на разрыв кольца легко получить методом размерностей с точностью до коэффициента.
Воробьев П.В.
• ВОПРОС 84: Расскажите подробнее о дискретизации и квантовании цифрового сигнала.
ОТВЕТ: В последнее время в технике идет переход на цифровые методы обработки информации. Это связано с тем, что цифровую информацию легче хранить (появились дешевые и удобные устройства для хранения информации, такие как жесткие диски компьютеров или лазерные диски), а также с тем, что цифровую информацию легко передавать по современным линиям связи практически без потерь.
Аналоговый сигнал — это в простейшем случае число x(t), зависящее от времени t. При записи на носитель информации или воспроизведении с него сигнал неизбежно искажается различного рода шумами. Восстановить искаженный сигнал (убрать шумы) нельзя. Можно, конечно, пытаться подавлять шумы, используя некоторую дополнительную информацию (например, можно подавлять частоты, в которых сосредоточены шумы), но при этом мы теряем также и информацию о самом сигнале, т. е. опять же вносим искажения.
При оцифровке сигнала x(t) производятся две операции — дискретизация и квантование. Дискретизация — это замена сигнала x(t) с непрерывным временем t на дискретизованный сигнал — последовательность чисел x(t1) для дискретного набора моментов времени t1, t2…, ti… (чаще всего интервалы между моментами времени Δt = ti — ti-1 берутся одинаковыми). При дискретизации, конечно, часть информации о сигнале теряется. Но если сигнал x(t) за время Δt не сильно изменяется, числа x(ti) и x(ti-1) близки друг к другу, то поведение x(t) между временами ti и ti-1 нетрудно восстановить (сигнал практически линейно изменяется во времени от x(ti-1) до x(ti). При дискретизации мы теряем частотные составляющие сигнала с частотами порядка f ~ 1/Δt и выше.
При дискретизации время из аналогового как бы становится цифровым — моменты времени ti можно нумеровать, кодировать. Производится замена непрерывного времени t на нечто, которое может принимать не все значения, а только некоторые, а именно t1, t2,…, ti… Квантование сигнала — это нечто похожее, только данная процедура производится не со временем, а со значением сигнала х. Выбирается некий набор возможных значение сигнала x1, х2,…, хn… и каждому x(ti) сопоставляется ближайшее число из этого набора.