К настоящему времени мы анализировали процесс дискретизации без рассмотрения такой операции АЦП, как квантование. Теперь будем трактовать АЦП как идеальный дискретизатор, но учитывать при этом эффекты квантования.
Идеальный N-разрядный АЦП имеет погрешности (по постоянному или переменному току), связанные только с процессами дискретизации и квантования. Максимальная погрешность, которую имеет идеальный АЦП при оцифровывании входного сигнала, равна ±1/2 LSB. Любой аналоговый сигнал, поступающий на вход идеального N-разрядного АЦП, производит шум квантования. Среднеквадратичное значение шума (измеренное по ширине полосы Найквиста, от постоянного тока до fs/2) приблизительно равно весу наименьшего значащего разряда (LSB) q, деленному на √12. (см. Приложение 2). При этом предполагается, что амплитуда сигнала составляет, по крайней мере, несколько младших разрядов, так что выход АЦП изменяет свое состояние почти при каждом отсчете. Сигнал ошибки квантования от входного линейного пилообразного сигнала аппроксимируется сигналом пилообразной формы с максимальным размахом q, и его среднеквадратичное значение равно q/√12 (см. рис. 2.15).
Можно показать, что отношение среднеквадратичного значения синусоидального сигнала, соответствующего полной шкале, к среднеквадратичному значению шума квантования (выраженное в дБ) равно:
SNR = 6,02∙N + 1,76 дБ,
где N — число разрядов в идеальном АЦП. Это уравнение имеет силу только в том случае, если шум измерен на полной ширине полосы Найквиста от 0 до fs /2, как показано на рис. 2.16.
Если ширина полосы сигнала BW меньше fs/2, то значение отношения сигнал/шум (SNR) в пределах ширины полосы сигнала BW возрастет вследствие уменьшения энергии шума квантования в пределах ширины полосы. Для этого условия правильным будет следующее выражение:
SNR = 6,02∙N + 1,76 дБ + 10∙log(fs/(2∙BW))
Приведенное уравнение отражает состояние, именуемое избыточной дискретизацией, при котором частота дискретизации выше, чем удвоенная ширина полосы сигнала. Корректирующую величину часто называют запасом по дискретизации. Обратите внимание, что для данной ширины полосы сигнала удвоенная частота дискретизации увеличивает отношение сигнал/шум на 3 дБ.
Хотя среднеквадратичное значение шума довольно точно приближается к q/√12, его частотная область может сильно коррелировать с входным аналоговым сигналом. Например, корреляция будет больше для периодического сигнала малой амплитуды, чем для случайного сигнала большой амплитуды. Весьма часто в теории полагают, что шум квантования появляется в виде белого шума, распределенного равномерно по всей ширине полосы Найквиста от 0 до fs/2. К сожалению, это не так. В случае сильной корреляции шум квантования будет сконцентрирован около каких угодно гармоник входного сигнала, но только не там, где бы Вы хотели.
В большинстве приложений входной сигнал АЦП представляет собой полосу частот (он обычно смешан с некоторым шумом) со случайным шумом квантования. Тем не менее, в приложениях спектрального анализа (или при выполнении БПФ на АЦП, использующих спектрально чистый синусоидальный сигнал, см. рис. 2.17) корреляция между шумом квантования и сигналом зависит от отношения частоты дискретизации к частоте входного сигнала.
Это демонстрируется на рис. 2.18, где идеальный выход 12-разрядного АЦП представлен с использованием БПФ с 4096 точками. На левом графике отношение частоты дискретизации к входной частоте было выбрано равным точно 32, и худшая гармоника составляет 76 дБ от основной частоты. Правый график показывает эффект некоторого смещенного отношения, приводящего к относительному разбросу спектра случайного шума, благодаря которому динамический диапазон, свободный от гармоник (SFDR), достигает 92 дБ. В обоих случаях среднеквадратичное значение всех шумовых компонентов равно q/√12, но в первом случае шум сконцентрирован около гармоник основной частоты.
Обратите внимание, что это изменение нелинейных искажений АЦП является следствием процесса дискретизации и корреляции ошибки квантования с входной частотой. В практике аналого-цифрового преобразования ошибка квантования вообще проявляется как случайный шум из-за случайной природы широкополосного входного сигнала и того факта, что обычно имеется небольшой шум системы, который действует, как подмешиваемый псевдослучайный сигнал при дальнейшем распределении спектра ошибки квантования.