Первая точка Х(0) является простой суммой входных отсчетов во временной области, потому что cos(0) = 1. Коэффициент масштабирования 1/N не учитывается, но должен присутствовать в конечном результате. Обратите внимание, что Х(0) — это среднее значение отсчетов во временной области, или просто смещение по постоянному току. Вторая точка ReX(1) получена умножением каждого отсчета из временной области на соответствующее значение косинусоиды, имеющей один полный период на интервале N, с последующим суммированием результатов. Третья точка ReX(2) получена умножением каждого отсчета из временной области на соответствующую точку косинусоиды, которая имеет два полных периода на интервале N, с последующим суммированием результатов. Точно так же, четвертая точка ReX(3) получена умножением каждого отсчета из временной области на соответствующую точку косинусоиды с тремя полными периодами на интервале N и суммированием результатов. Этот процесс продолжается, пока не будут вычислены все N выходных отсчетов. Подобная процедура, но с использованием синусоид, применяется для вычисления мнимой части частотного спектра. Косинусоиды и синусоиды являются базисными функциями данного преобразования.
Предположим, что входной сигнал является косинусоидальным, имеющим период N, то есть он содержит один полный период в нашей выборке. Также примем его амплитуду и фазу идентичными первой косинусоидальной базисной функции cos(2πn/8). Выходной спектр содержит одну ненулевую точку ReX(1), а все другие точки ReX(k) являются нулевыми. Предположим, что теперь входная косинусоида сдвинута вправо на 90°. Значение свертки между ней и соответствующей базисной косинусоидальной функцией равно нулю. Но алгоритм преобразования предполагает вычисление свертки с базисной функцией sin(2πn/8), необходимое для получения ImX(1). Это показывает, почему необходимо рассчитывать и вещественные, и мнимые части спектра для определения и амплитуды и фазы частотного спектра.
Обратите внимание, что свертка синусоидальной/косинусоидальной функции любой частоты, отличной от частоты базовой функции, дает нулевое значение и для ReX(1), и для ImX(l).
Подобная процедура применяется при вычислении обратного ДПФ для восстановления отсчетов во временной области х(n) из отсчетов в частотной области Х(k). Соответствующее уравнение выглядит следующим образом:
Существует два основных типа ДПФ: вещественное ДПФ и комплексное ДПФ.
Уравнения, представленные на рис. 5.5, описывают комплексное ДПФ, где и входные, и выходные величины являются комплексными числами. Так как входные отсчеты во временной области являются вещественными и не имеют мнимой части, мнимая часть входных отсчетов всегда принимается равной нулю. Выход ДПФ Х(k) содержит вещественную и мнимую компоненты, которые могут быть преобразованы в амплитуду и фазу.
Вещественное ДПФ выглядит несколько проще и, в основном, является упрощением комплексного ДПФ. Большинство алгоритмов вычисления быстрого преобразования Фурье (БПФ) составлено с использованием формата комплексного ДПФ, поэтому важно понимать, как работает комплексное ДПФ и как оно соотносится с вещественным ДПФ. В частности, если известны выходные частоты вещественного ДПФ и требуется использовать обратное комплексное ДПФ для вычисления отсчетов во временной области, надо знать, как разместить выходные точки вещественного ДПФ в формате комплексного ДПФ перед выполнением обратного комплексного ДПФ.
На рис. 5.6 показаны исходные данные и результаты вычислений вещественного и комплексного БПФ (FFT). Обратите внимание, что результат вычисления вещественного ДПФ дает вещественное и мнимое значения Х(k), где к находится в диапазоне от 0 до N/2. При этом мнимые точки ImX(0) и ImX(N/2) всегда равны 0, потому что равны 0 sin(0) и sin(πn).
Результат вычислений в частотной области X(N/2) соответствует частотному диапазону, равному половине частоты дискретизации fs. Ширина каждого элемента разрешения по частоте равна fs/N.
Комплексное ДПФ имеет вещественные и мнимые значения и на входе, и на выходе. Практически, мнимые части отсчетов во временной области устанавливаются в ноль. При рассмотрении спектра, получаемого в результате вычисления комплексного ДПФ, полезно знать, как связать его с результатом вычисления вещественного ДПФ и наоборот. Заштрихованные области в диаграмме соответствуют точкам, которые являются общими и для вещественного, и для комплексного ДПФ.