Математический аппарат, применяемый при проектировании фильтров (аналоговых или цифровых), в основном базируется на преобразованиях Фурье. В непрерывных по времени системах в качестве обобщенного преобразования Фурье может рассматриваться преобразование Лапласа. Подобным способом можно обобщить преобразование Фурье для дискретных по времени систем, и результат такого обобщения известен как z-преобразование. Детальное описание использования z-преобразования при проектировании цифровых фильтров дано в приложениях 1, 2, 3, 4, 5 и 6, хотя для понимания дальнейшего материала и нет необходимости в глубоких теоретических изысканиях.
Частотная характеристика идеального ФНЧ представлена на рис. 6.19, А.
Соответствующая импульсная характеристика во временной области представлена на рис. 6.19, В и является функцией sin(x)/x (sine). Если для реализации этой частотной характеристики использовать КИХ-фильтр, то он должен иметь бесконечное число звеньев. Метод sin(x)/x со взвешиванием заключается в следующем. Сначала импульсная характеристика обрезается до разумного числа точек N, как на рис. 6.19, С. Как было обсуждено в разделе 5, частотная характеристика, соответствующая рис. 6.19, С, имеет слишком большое влияние боковых лепестков из-за разрывов в области конечных точек в усеченной импульсной характеристике. Следующий шаг в процессе проектирования состоит в применении к усеченному импульсу соответствующей весовой функции, как показано на рис. 6.19, D, обнуляющей конечные точки. Выбранная таким образом весовая функция определяет спад и характеристики боковых лепестков фильтра. Весовые оконные функции были подробно обсуждены в разделе 5. Как правило, существует несколько приемлемых вариантов в зависимости от желаемой частотной характеристики. Частотная характеристика фильтра с усеченной импульсной характеристикой sin(x)/x (рис. 6.19, Е) представлена на рис. 6.19, F.
Метод рядов Фурье со взвешиванием (рис. 6.20) заключается в начальном математическом определении функции передачи H(f) и последующем разложении ее в ряд Фурье. Коэффициенты ряда Фурье определяют импульсную характеристику и, следовательно, коэффициенты КИХ-фильтра. Затем импульсная характеристика должна быть усечена и подвергнута взвешиванию с использованием оконной функции, как в предыдущем случае. После усечения и применения оконной функции используется БПФ для генерации соответствующей частотной характеристики. Частотная характеристика может быть изменена выбором различных оконных функций, хотя точное управление характеристиками частотной характеристики в полосе режекции затруднено при любом методе, использующем взвешивание с функцией окна.
ПРОЕКТИРОВАНИЕ КИХ-ФИЛЬТРА ПО МЕТОДУ РЯДОВ ФУРЬЕ СО ВЗВЕШИВАНИЕМ
• Точное определение передаточной характеристики H(f)
• Разложение H(f) в ряд Фурье: коэффициенты ряда Фурье являются коэффициентами КИХ-фильтра h(k) и его импульсной характеристикой
• Усечение импульсной характеристики до N точек
• Взвешивание h(k) с соответствующей оконной функцией для сглаживания эффекта усечения
• Отсутствует точное управление частотой среза; сильная зависимость от оконной функции
Рис. 6.20
Этот метод чрезвычайно полезен при генерации КИХ-фильтра с произвольной частотной характеристикой. H(f) определяется как набор точек амплитудной и фазовой характеристик в частотной области. Затем точки преобразуются в вещественные и мнимые составляющие комплексного спектра. Следующим шагом является получение импульсной характеристики путем взятия комплексного обратного БПФ от частотной характеристики. Далее импульсная характеристика обрезается до N точек и применяется взвешивание с функцией окна для минимизации эффекта усечения. Затем результат проектирования фильтра должен быть проверен путем вычисления БПФ от импульсной характеристики и оценки получившейся частотной характеристики. Для получения желаемой характеристики может потребоваться несколько итераций.
МЕТОД ЧАСТОТНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ДЛЯ КИХ-ФИЛЬТРА С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ