ФИЛЬТРЫ С БЕСКОНЕЧНОЙ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ (БИХ)
• Имеют обратную связь (рекурсия)
• Импульсная характеристика имеет бесконечную длительность
• Потенциально нестабильны
• Нелинейная фазочастотная характеристика
• Более эффективны, чем КИХ-фильтры
• Нет вычислительных преимуществ при децимации по выходу
• Обычно проектируется по характеристике аналогового фильтра
• Обычно реализуется каскадным соединением звеньев второго порядка (биквадратные фильтры)
Рис. 6.31
Структура биквадратного БИХ-фильтра представлена на рис. 6.32. Нули формируются коэффициентами прямой связи b0, b1 и Ь1; а полюса (порядок) определяются коэффициентами обратной связи a1 и а2.
Общее уравнение цифрового фильтра, представленное на рис. 6.32, описывает обобщенную передаточную функцию H(z), которая содержит полиномы и в числителе, и в знаменателе. Корни знаменателя определяют расположение полюсов фильтра, а корни числителя характеризуют расположение нулей. Хотя существует возможность создания непосредственно по этому уравнению БИХ-фильтра более высокого порядка (так называемая прямая реализация), накапливающиеся ошибки квантования (из-за арифметики с фиксированной точкой и конечной длины слова) могут вызывать неустойчивость работы фильтра и большие ошибки. По этой причине правильнее расположить каскадно несколько биквадратных звеньев с соответствующими коэффициентами, чем использовать прямую форму реализации. Данные при вычислении биквадратных фильтров могут масштабироваться раздельно, а затем биквадратные звенья каскадируются для минимизации ошибок квантования коэффициентов и накапливающихся ошибок рекурсивного накопления. Каскадные биквадратные фильтры работают более медленно, чем их эквиваленты прямой формы реализации, но они более устойчивы и в них минимизируются эффекты, связанные с арифметическими ошибками конечной разрядности данных.
Первая прямая форма биквадратного звена, представленная на рис. 6.32, требует использования четырех регистров. Эта конфигурация может быть заменена эквивалентной схемой, представленной на рис. 6.33, которая называется второй прямой формой реализации и требует использования только двух регистров.
Можно показать, что уравнения, описывающие биквадратный БИХ-фильтр второй прямой формы реализации, такие же, как и уравнения первой прямой формы реализации. Как и в случае КИХ-фильтра, система обозначений при изображении БИХ-фильтра часто упрощается, как показано на рис. 6.34.
Популярный метод проектирования БИХ-фильтра сводится к тому, что сначала проектируется эквивалентный аналоговый фильтр, а затем функция передачи H(s) преобразуется математически в z-область, H(z). Проектирование фильтров более высоких порядков выполняется каскадированием биквадратных звеньев. Наиболее популярными аналоговыми фильтрами являются фильтры Баттерворта, Чебышева, эллиптические и Бесселя (см. рис. 6.35). Существует множество программ САПР, способных генерировать функцию передачи фильтра, заданную с помощью преобразования Лапласа.
ОБЗОР ПОПУЛЯРНЫХ АНАЛОГОВЫХ ФИЛЬТРОВ
• Баттерворта
♦ Нет нулей частотной характеристики, нет пульсаций в полосе пропускания и задержки
♦ Максимально плоская характеристика (быстрый спад без пульсаций)
• Чебышева 1-го рода
♦ Нет нулей частотной характеристики, пульсации в полосе пропускания, нет пульсаций в полосе задержки
♦ Более короткая область перехода, чем у фильтра Баттерворта для данного порядка
♦ Фильтр 2-го рода имеет пульсации в полосе задержки, нет пульсаций в полосе пропускания
• Эллиптический (Кауэра)
♦ Имеет полюса и нули, пульсации и в полосе пропускания, и в полосе задержки
♦ Более короткая область перехода, чем у фильтра Чебышева для данного порядка
♦ Фазовая характеристика хуже
• Бесселя (Томпсона)
♦ Нет нулей частотной характеристики, нет пульсаций в полосе пропускания и задержки
♦ Оптимизирован по линейной фазовой и импульсной характеристикам