Рассмотрим, в качестве примера, случай, когда случайный процесс на входе измерительного канала имеет спектральную плотность мощности вида:
Sx(ω) = 2σ2xα/π(α2 + ω2),
где α — параметр функции СПМ, а передаточная функция каналов воздействия сигналов ИП описываются инерционным звеном первого порядка:
W(jω) = 1/(1 + jωT))
где Т — постоянная времени.
Дисперсии измеряемой и влияющей величин соответственно равны [12]:
σ2y = σ2x/(1 + αT1),
σ2e = σ2ε/(1 + αT2),
Примем так же, как наиболее характерный случай, что корреляционная матрица входного воздействия и влияющей величины определена как:
где ах, аε и ахε, аεх, с = σxσεpxε — параметры соответственно корреляционных и взаимных корреляционных функций измеряемого и влияющего воздействий.
Математическое ожидание квадрата динамической погрешности равно:
M{Δ2дин} = σxВ1/(1 + B1)
где В1 = аxТ1.
Математическое ожидание квадрата мультипликативной дополнительной погрешности:
где В2 = аεТ2.
Математическое ожидание корреляционной составляющей суммарной погрешности определяется из следующего выражения:
(14)
где B3 = axεT1; B4 = axεT2.
Максимальное увеличение суммарной динамической и дополнительной погрешности, при учете корреляционной связи между этими погрешностями, в рассмотренном примере, не превышает 20 %. Такое увеличение суммарной погрешности является несущественным и, поэтому, во многих случаях, корреляционной составляющей можно пренебречь.
В том случае, если дополнительная погрешность является чисто аддитивной, то математическое ожидание ее квадрата определяется только статистическими параметрами влияющей величины:
M{Δ2доп} = b2[μ2ε + σ2ε]. (15)
где b — коэффициент влияния аддитивной дополнительной погрешности.
На рис. 3 представлена структура модели образования мультипликативно-аддитивной дополнительной погрешности.
Рис. 3. Структура модели образования мультипликативно-аддитивной дополнительной погрешности измерительного преобразователя
Дополнительная погрешность на выходе ИП равна:
Δдоп(t) = ax(t)ε(t) + bε(t).
Математическое ожидание квадрата мультипликативно-аддитивной дополнительной погрешности, при учете корреляции между измеряемой и влияющей величиной, равно:
Выражение (16) состоит из трех частей, образующих три слагаемых суммарной погрешности. Первая часть характеризует мультипликативную составляющую, которая совпадает с (6). Вторая часть — аддитивную, совпадающую с (15). Третья — характеризует статистическую зависимость между аддитивной и мультипликативной составляющими суммарной погрешности:
M{Δp} = 2ab[μxμ2ε + μxσ2ε + 2μεσxσεpxε]. (17)
Максимальное увеличение суммарной дополнительной погрешности, при учете корреляционной связи достигает 100 %. Такое увеличение суммарной погрешности за счет корреляционной составляющей является существенным и поэтому ее следует обязательно учитывать при расчетах аддитивно-мультипликативной дополнительной погрешности.
Рассмотренная в качестве примера структура измерительного канала, имеющая инерционные звенья, является лишь частным случаем более сложных динамических структур. Наличие в каналах измеряемой и влияющей величин сложных динамических структур не позволяет представлять результаты в аналитическом виде. В этих случаях следует использовать численное моделирование.