2) по ряду сглаженных уровней вычисляются цепные абсолютные изменения
Δi = yi+1— yi, (для параболы — ускорения, для экспоненты — темпы);
3) ряд разбивается на несколько равных или примерно равных подпериодов, и по каждому вычисляется средняя величина того параметра, постоянство которого подтверждает выдвинутую гипотезу о типе тренда: средний абсолютный прирост — для прямой, среднее ускорение — для параболы, средний темп — для экспоненты;
4) методом дисперсионного анализа при многих средних значениях проверяемого параметра или по t-критерию при двух значениях проверяется существенность различия средних значений параметра в разных подпериодах исходного ряда. Если нельзя отклонить гипотезу о несущественности различий средних величин параметра в разных подпериодах, то принимается гипотеза о соответствующем типе тренда. Если различия средних признаются существенными, гипотеза о данном типе тренда отвергается и выдвигается следующая гипотеза в порядке усложнения: после отклонения прямой линии — об экспоненте; после отклонения экспоненты — о параболе; при отклонении параболы — о других типах линий.
Рассмотрим применение данной методики на примере динамики урожайности зерновых культур во Франции. На основании графика, представленного на рис. 5.1, предложена гипотеза о линейном тренде (табл. 5.1).
Далее проводится дисперсионный анализ различий между средними абсолютными изменениями, результаты которого представлены в табл. 5.2.
Полученное значение F-критерия значительно ниже табличного для значения 0,05, следовательно, различия между средними значениями цепных абсолютных изменений в разных подпериодах не являются существенными; вероятность нулевой гипотезы (о случайном характере этих различий) много больше 0,05, и она не может быть отклонена. Принимается исходная гипотеза о том, что средние значения абсолютных приростов урожайности постоянны, тренд урожайности — прямая линия.
Еще один методический прием определения типа тренда — применение многократного аналитического выравнивания с последующим рассмотрением динамики изменений основного параметра тренда по скользящим интервалам. К этому методу следует обратиться после изучения многократного выравнивания, представленного в разд. 5.5.
5.3. Оценка параметров линейного, параболического и гиперболического трендов
Данные виды трендов объединены в связи с тем, что методика оценки их параметров имеет много общего. Основой этой методики служит метод наименьших квадратов, который дает оценки параметров, отвечающие принципу максимального правдоподобия: сумма квадратов отклонений фактических уровней от тренда (от выровненных по уравнению тренда уровней) должна быть минимальной для данного типа уравнения.
Эта методика близка к методике корреляционно-регрессионного анализа связей — парной регрессии. Однако между ними есть и принципиальные различия", выступающий при расчете уравнения тренда в качестве независимой переменной ряд номеров периодов или моментов времени не является случайной варьирующей переменной X регрессионного анализа.
Ряд значений времени — это жестко упорядоченный ряд величин, и, следовательно, не может быть речи о корреляции между ним и значениями зависимой переменной — варьирующих уровней показателя, изменяющегося во времени. Нередко применяемые в литературе и в программах ЭВМ коэффициенты корреляции со временем или фактических уровней с выровненными (т. е. тоже упорядоченными) уровнями тренда таковыми на самом деле не являются и не могут измерять какой-либо «тесноты связи». Чем длиннее период, охватываемый рядом, тем автоматически становятся больше так называемые коэффициенты корреляции при той же самой скорости роста уровней и той же самой силе колебаний. Таким образом, эти лже-коэффициенты не могут характеризовать соотношение между ролью факторов тенденции и ролью факторов колеблемости.
5.3.1. Уравнение прямой линии тренда
Уравнение имеет вид:
y^i = а + bti,
где y^i — уровень тренда для периода или момента с номером ti;
а — свободный член уравнения, равный среднему уровню тренда для периода (момента) с нулевым номером ti;
Ь — главный параметр линейного тренда — его константа — среднее абсолютное изменение за принятую в ряду единицу времени.