Если бы параболический тренд вычислялся на ЭВМ по программе, предусматривающей нумерацию лет от начала с номера t = 1, то уравнение имело бы вид:
y^i = 261,9 + 1,47ti + 2,62ti2,
где ti = 0 в 1987 г.
5.3.3. Гиперболическое уравнение тренда
Уравнение имеет вид:
y^i = a + b/ti
т. е. отличается от линейного уравнения тем, что вместо ti первой степени включает номера периодов времени (моментов) в минус первой степени:
1/ti
Соответственно нормальные уравнения метода наименьших квадратов получат вид:
Однако при этом нельзя, в отличие от линейного тренда, переносить начало отсчета периодов времени в середину, так как гипербола не имеет постоянного параметра изменения уровней на протяжении всего периода, и все величины 1/ti должны быть положительными.
Рассмотрим расчет гиперболического уравнения тренда (табл. 5.5) по данным рис. 4.4 — динамика расхода условного топлива на производство электроэнергии на электростанциях региона (г. на 1 кВт-ч).
Нормальные уравнения МНК:
7а + 2,593b = 2555,
2,593а + 1,511b = 1041.
Решая систему уравнений, получаем:
a = 301,3; b = 171,9.
Уравнение гиперболического тренда удельного расхода топлива имеет вид:
y^i = 301,3 + (171,9/ti)
где ti = 0 в 1965 г.
Величина удельного расхода 301,3 — это предел, к которому стремится экономия топлива при данной технологии тепловых электростанций региона. Существенного резерва экономии уже нет.
5.4. Оценка параметров экспоненциального, логарифмического и логистического уравнений тренда
Данные типы трендов объединены в одну группу в связи с необходимостью при оценке их параметров прибегать к логарифмированию. При расчете логарифмического уравнения тренда логарифмируют номера периодов (моментов) времени, а при расчете параметров экспоненциального и логистического трендов — сами уровни. Поскольку отрицательные числа не имеют действительных логарифмов, если нужно логарифмировать номера периодов времени, то нельзя переносить начало их отсчета в середину ряда. Если же сами уровни могут принимать отрицательные значения, например, уровни финансового результата от реализации, уровни температуры воздуха или почвы, то необходимо перенести начало отсчета уровней на величину, алгебраически меньшую реального наименьшего уровня. Например, температуру следует выразить не в градусах Цельсия, а в Кельвинах, финансовый результат при наибольшем убытке 83 млн. руб., отсчитывать от -100 млн. руб., чтобы наинизший уровень выразился как 17 млн. руб. По окончании расчета тренда нетрудно восстановить обычные единицы измерения. Так, получив тренд финансового результата при отсчете от -100 млн. руб. как
y^i = 27∙1,028Ii
нужно по нему рассчитать все уровни тренда, а затем прибавить к ним величину -100 млн. руб. Начиная с t = 48, уровни тренда станут положительными числами в обычном смысле:
47 < [ln(100:27):ln 1,028] < 48
5.4.1. Экспоненциальное уравнение тренда
Формула уравнения имеет вид:
y^i = a∙kti
Для нахождения параметров а и к уравнение логарифмируем:
ln y^i = ln a + ti∙ln k
В такой форме, т. е. для логарифмов, уравнение соответствует линейному, следовательно, метод наименьших квадратов дает для логарифмов а и к нормальные уравнения, аналогичные таковым для параметров а и Ь линейного тренда (см. табл. 5.2).
Так как номера периодов времени не логарифмируются, можно перенести начало отсчета в середину ряда и упростить систему:
Приведем пример расчета экспоненциального тренда по данным рис. 4.3 (табл. 5.6).
ln a = 49,77/6 = 8,295; a = 4004;
ln k = 3,12/17,5 = 0,1783; k = 1,195;
Уравнение тренда: