y^i = 4004∙1,195ti
где t = 0,5 в 1980 г.
Итак, население Земли в период с 1950 по 2000 г. возрастало со среднегодовым темпом роста, равным корню десятой степени из среднего темпа за десятилетие, найденного по данным табл. 5.6, т. е. 10√1,195 = 1,01797, или 1,8 % прироста в год. Прогнозировать дальнейшую динамику численности населения по рассчитанному тренду не следует, так как уже в десятилетии 1990–2000 гг. темп стал замедляться, и этот процесс, очевидно, будет продолжаться. По данным Венского Международного института прикладного системного анализа, наиболее вероятный вариант роста населения Земли в XXI в. — постепенное замедление роста до полного его прекращения к 2100 г. при уровне населения 11,5 млрд. чел. Крайними и наименее вероятными вариантами к 2100 г. являются: очень слабо замедляющийся рост до 18 млрд. чел. или переход к снижению числа жителей Земли, начиная примерно с середины XXI в., до 5 млрд. чел.
5.4.2. Логарифмическое уравнение тренда
Особенность этого типа тренда заключается в том, что логарифмировать необходимо номера периодов (моментов) времени: у^ = а + b In t. Следовательно, все номера должны быть положительными числами. Однако это вовсе не означает, что нумерацию следует начинать с числа 1. Дело в том, что величина логарифма быстро возрастает при переходе от единицы к двум: натуральный логарифм единицы равен нулю, а логарифм двух равен 0,693, имеем рост на 0,693; в то же время логарифм четырех равен 1,386, а логарифм пяти равен 1,609, имеем прирост лишь на 0,223 и т. д. Если и уровень изучаемого ряда вначале возрастает втрое быстрее, чем между четвертым и пятым периодом, тогда нумерация от единицы допустима. Если же уменьшение прироста уровней происходит значительно медленнее, нумерацию периодов (моментов) следует начинать не с единицы, а с большего числа.
Покажем методику расчета логарифмического уравнения тренда на примере динамики валового сбора чая в Китае (см. рис. 4.5; табл. 5.7).
Временной ряд прежде всего нужно разделить на несколько частей, например на три части, и в каждой части вычислить средний уровень, тыс. т:
1978–1983 гг. — 331,7;
1984–1989 г. — 482,7;
1990–1994 гг. — 566,0.
Эти усредненные уровни относятся соответственно к середине между 1980 и 1981 гг., к середине между 1986 и 1987 гг. и к 1992 г. Если первую дату обозначить годом номер х, то вторая будет годом номер х + 6, а третья — годом номер х + 11,5. Исходя из уравнения логарифмического тренда имеем уравнения:
а + b∙ln x; = 331,7; (5.18)
а + b∙ln (x + 6) = 482,7; (5.19)
а + b∙ln (x + 11,5) = 566. (5.20)
Вычитая (5.18) из (5.19), имеем:
b∙[ln (х + 6) — ln (x)] =151. (5.21)
Вычитая (2) из (3), имеем:
b∙[ln (x + 11,5) — ln (x + 6)] = 83,3 (5.22)
Делим второй результат на первый:
[ln (х+11,5) — ln (х + 6)]/[ln (х + 6) — ln x] = 83,3/151 = 0,5517.
Это число говорит о степени замедления роста средних уровней между подпериодами ряда. Теперь необходимо подобрать такое значение х, при котором получаем наибольшее приближение к рассчитанному показателю замедления роста уровней.
При х = 2 получим:
[ln (2 + 11,5) — ln (3 + 6)]/[ln (2 + 6) — ln 2] = 0,5323/1,3863 = 0,384.
что слишком мало.
Увеличим х до 6:
[ln (6 + 11,5) — ln (6 + 6)]/[ln (6 + 6) — ln 6] = 0,3773/0,6931 = 0,5922.
все еще ниже наблюдаемой величины. Примем х = 8:
[ln (8 + 11,5) — ln (8 + 6)]/[ln (8 + 6) — ln 8] =0,3314/0,5596 = 0,5922
что уже больше наблюдаемого значения.
При х = 7 имеем:
[ln (7 + 11,5) — ln (7 + 6)]/[ln (7 + 6) — ln 7] = 0,3528/0,6190 = 0,5699 -
немного больше необходимого.
Примем х = 6,5:
[ln (6,5 + 11,5) — ln (5,5 + 6)]/[ln (6,5 + 6) — ln 6,5] = 0,3646/0,6539 = 0,5576.
Можно, принимая дробные значения х, подойти еще ближе к фактическому значению, однако вряд ли целесообразно применять мелкодробные номера периодов времени, да и сам процесс усреднения уровней по подпериодам ряда включает субъективные моменты, поэтому лучше ограничиться приближением х ~ 6,5 лет, следовательно, середина между 1980 и 1981 гг. — это номер 6,5 от начала отсчета номеров лет, тогда 1978 г. — это номер t = 4. Исходя из этого нумеруем все года в табл. 5.7, начиная с t = 4 до t = 20.
Зная величину х = 6,5, подставляем ее в уравнения (5.21) и (5.22), чтобы вычислить по ним величину параметра Ь. Из (5.21):
b∙(ln 12,5 — In 6,5) =151,