Причину учета числа параметров тренда можно проиллюстрировать следующими примерами.
Линейный тренд имеет два параметра — а и Ь. Если из ряда уровней взять только уровни двух любых периодов, то, как известно из геометрии, прямая точно пройдет через две любые точки, мы увидим только тренд и не увидим никаких колебаний. Аналогично, если оставить от ряда три любых уровня, тренд в форме параболы II порядка, имеющий три параметра, точно пройдет через три точки графика, в результате колеблемость останется «за кадром», так как у нее нет ни одной степени свободы. Поэтому, оценивая генеральное среднее квадратическое отклонение уровней от тренда, нужно учесть потерю степеней свободы колебаний на величину, равную количеству параметров уравнения тренда. Именно такая несмещенная оценка генерального параметра может быть распространена на будущие периоды, т. е. она необходима в прогнозировании (см. гл. 10). Среднее квадратическое отклонение, как известно, входит в формулу нормального закона распределения вероятностей, на его основе можно рассчитывать вероятности ошибок прогнозов и их доверительные границы.
6.2.2. Показатели относительной интенсивности колебаний
Показатели относительной интенсивности вариации рассчитываются как отношение ее абсолютных показателей к постоянной средней величине, относительной интенсивности колебаний — как отношение индивидуальных отклонений отдельного периода к уровню тренда за этот же период, а обобщающие показатели — как отношение обобщающих показателей силы колебаний за весь ряд к обобщающему показателю уровней ряда — среднему уровню.
Например, мы хотим оценить интенсивность отклонения урожайности зерновых во Франции от ее тренда в 1976 г. Абсолютное отклонение составило -7,4 ц/га, а уровень тренда (см. приложение 1) = 41,8 ц/га. Интенсивность отклонения (колебания) равна: -7,4: 41,8 =-0,177, или -17,7 %. Это очень серьезный неурожай. В 1995 г. отклонение урожайности зерновых от тренда по абсолютной величине тоже было значительным: -6,2 ц/га. Но в том же году уровень тренда поднялся уже до 69,4 ц/га, поэтому интенсивность отклонения составила: -6,2: 69,4 = — 0,0896, или -8,96 %, что можно считать не сильным, а умеренным неурожаем.
Обобщающим показателем интенсивности колебаний урожайности зерновых культур во Франции служит отношение оценки генерального среднего квадратического отклонения уровней от тренда S(t) к средней величине урожайности за весь период 1970–1995 гг., что, согласно приложению 1, составляет: 3,54 ц/га: 51,25 ц/га = 0,069 ц/га, или 6,9 %.
Напомним, что при криволинейном тренде средний уровень не равен свободному члену уравнения тренда, так же как и при прямолинейном тренде, но при отсчете периодов от начала, а не от середины ряда. В этих случаях делить обобщающий показатель силы колебаний S(t) нужно не на свободный член уравнения, а на средний уровень изучаемого показателя. Например, интенсивность колебаний расхода условного топлива на выработку 1 кВт-ч электроэнергии (см. табл. 5.5) составляет:
√[382/(7–2)]:(2555/7) = 8,74:365 = 0,0239, или 2,39 %.
Колеблемость очень слабая. Аналогично коэффициенту пространственной вариации отношение среднего квадратического отклонения от тренда к среднему уровню временного ряда называют коэффициентом колеблемости, который мы обозначаем, для отличия от коэффициента пространственной вариации, как V(t). Его формула
V(t) = S(t)/y¯(6.6)
— для оценки генеральной величины и прогнозов или
V(t) = σ(t)/y¯(
— для измерения интенсивности колебаний за данный период как изолированный отрезок, без распространения на прошлые и будущие периоды времени.
Величина коэффициента колеблемости также играет важную роль при анализе устойчивости в динамике (см. гл. 8).
В заключение необходимо подчеркнуть, что любая погрешность в определении типа тренда или при расчете его параметров приводит к преувеличению показателей силы и интенсивности колебаний. Так как реальные временные ряды всегда отклоняются от строго линейной, параболической, экспоненциальной или иной любой абстрактно-математической линии, то колеблемость всегда несколько преувеличивается за счет неполного соответствия истинной тенденции динамики какому-либо принятому типу линии тренда. Например, наверняка часть колеблемости численности населения Земли (см. табл. 5.6) на самом деле объясняется тем, что «истинная» тенденция роста населения не являлась за 1950–2000 гг. строго экспоненциальной.
6.3. Особенности измерения сезонных колебаний