Примечание. Я — январь, Ф — февраль, М — март, А — апрель, И — июнь. Ил. — июль, Ав. — август, С — сентябрь, О — октябрь, Н — ноябрь, Д — декабрь.
После вычисления тренда и его уровней за все месяцы вычисляются отношения фактических уровней к уровням тренда, т. е. индексы сезонности. Однако в них включены и случайные колебания. Чтобы очистить индексы сезонных колебаний от случайности, нужно их усреднить за несколько (лучше 10 и более) лет. В учебном примере у нас только три года (для января — четыре), что на самом деле недостаточно для отделения сезонных, типичных колебаний от случайных особенностей процесса в разные годы. Вычисляем средние индексы сезонных колебаний:
Сумма индексов составила 12,14 6, хотя средний индекс должен быть равен единице. Следует откорректировать индексы на пропорциональную величину, т. е. от больших отнять больше, от меньших — меньше, примерно на 0,01 от общей величины. Корректированные индексы запишем слева от названий месяцев.
Далее, умножая уровень тренда на корректированные средние индексы, находим уровни с учетом тренда и сезонных колебаний, но, исключая случайные колебания, y^ii¯сезi округлены в табл. 6.3 до целых. То, что 37Σi=1y^ii¯сезi меньше 37Σi=1y^i, не является недостатком расчета: дело в «лишнем» январе, уровень которого с учетом сезонного колебания в среднем за три года ниже тренда на 30, в результате даже с учетом этого остается небольшой избыток 37Σi=1y^ii¯сезi, объясняемый округлением. Избыток на 6 при сумме уровней 2220, разумеется, несуществен.
Далее вычисляем отклонения фактических уровней от y^ii¯сезi, т. е. случайные колебания и их квадраты, с целью вычисления среднего квадратического отклонения уровней затрат труда от «модели», учитывающей тренд и средние сезонные колебания:
S(t)случ = √[393/(37 — 2 -11)] = 4,05 тыс.ч.
В знаменателе стоит число степеней свободы случайной колеблемости: вычитается из числа уровней 37 две степени свободы линейного тренда и 11 степеней свободы месячных колебаний (двенадцатый индекс сезонности — величина несвободная, так как задана их сумма за год, равная 12 целым). Коэффициент случайной колеблемости составил: 4,05: 60 = 0,0675, или 6,75 %. Колеблемость слабая. Силу самих же сезонных колебаний можно оценить по их среднему квадратическому колебанию:
Сезонные колебания за год имели 11 степеней свободы вариации, но в ряду отклонении у y^i — y^ x i¯сезi повторяются три раза, так что правильно будет считать всего 33 квадрата сезонных колебаний и делить сумму квадратов на 33, иначе получится нереально большая величина. Вопрос о степенях свободы вариации при сезонных колебаниях требует дальнейшего исследования. Коэффициент сезонной колеблемости V(t)ceз = 31,35/60 = 0,522, или 52,2 %. Сезонная колеблемость сильная.
Графическое изображение сезонных колебаний затрат труда на сельскохозяйственном предприятии построим в полярных координатах (рис. 6.5), т. е. каждый месяц в окружности занимает 30° (360°: 12). Радиус равен 1, а точки откладываются от центра на величину р = i¯сезi
Рис. 6.5. Сезонные колебания затрат труда на сельскохозяйственном предприятии.
При отсутствии сезонности фигура I (см. рис. 6.5) лежала бы точно по окружности.
6.3.3. Представление синусоидальных колебаний в форме тригонометрического уравнения Фурье
Выдающийся французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768–1830) предложил метод преобразования периодических функций в ряд тригонометрических уравнений, называемых гармониками. Этот метод подходит для аналитического выражения сезонных колебаний, имеющих синусоидальную форму. Исходным рядом для преобразования Фурье лучше всего принять не первичный ряд за несколько лет, а усредненный ряд месячных уровней, в котором исключен тренд и (или) в основном погашены случайные колебания. Рассмотрим сезонные колебания среднего по ферме надоя молока на 1 корову (табл. 6.4).
Тригонометрическое уравнение ряда Фурье для его первой гармоники, которой мы здесь и ограничимся, имеет форму: