Проведено многократное выравнивание: 21 раз по 21 уровню в каждой базе.
Тренд имеет вид:
у^i = 51,83 + 0,02554ti t = 0 в 1977 г.
Колеблемость характеризуется величиной S(t) = 1,121 градуса.
Величина среднегодового прироста температуры очень мала — сотые доли градуса за год, что вызывает подозрение в его несущественном, ненадежном отличии от нуля. Необходимо проверить вероятность нулевой гипотезы.
Каждое из 21 значения параметра тренда — это одна выборка. Можно для каждой такой выборки определять величину S(t) и ошибки оценки среднегодового изменения, а затем вычислить ошибку среднего значения параметра всей 21 выборки, которая будет в √21 раз меньше. Однако, по нашему мнению, можно упростить расчет ошибки, применив формулу
Здесь l — число баз расчета среднего параметра;
21Σi=1 t2i — сумма квадратов номеров периода при отсчете от середины ряда в 21 уровень.
Имеем:
mb‾ = 1,121/√(21∙707) = 0,00920 градуса
При этом г-критерий Стьюдента равен:
b‾/mb‾ = 0,02554/0,00920 = 2,78
Табличное значение критерия для значимости 0,05 (вероятность нулевой гипотезы) при 41 — 2 = 39 степенях свободы вариации составляет 2,02. Следовательно, вероятность нулевого значения среднегодового прироста температуры менее 0,05, а надежность того, что среднегодовая температура воздуха в городе повышается, больше 0,95. Необходимо, конечно, уточнить причины потепления: не только общее изменение температуры по всему Земному шару, но и рост энергопотребления в самом городе. Для того чтобы установить, происходит ли общее потепление, нужно вести анализ не по городам, а по территориям, не имеющим местных источников возможного потепления, и на большом числе таких территорий.
Для основного параметра параболы II порядка с средняя ошибка репрезентативности выборочной оценки параметра вычисляется по формуле
Под корнем, при условии отсчета номеров периодов (моментов времени) от середины ряда, стоят выражения: средняя величина четвертых степеней ti минус квадрат среднего квадрата ti; по существу это дисперсия, но не линейная, а квадратическая аргумента параболы. Если же отсчет периодов времени идет не от середины ряда, а от начала, то подкоренное выражение принимает вид:
Здесь черта над скобками — знак средних величин. Рассмотрим пример по данным, представленным на рис. 4.2, - динамика экспорта Японии в 1988–1995 гг., имеющая параболический тренд. Его уравнение имеет вид:
y^i = 323,2 + 25,2ti + 2,40ti2.
Проверим, надежно ли отличие от нуля параметра с, половины ускорения. Колеблемость уровней экспорта измеряется величиной
S(t) = √ [67/(8–2)] = 3,66.
Находим необходимые для расчета ошибки параметра величины при измерении периодов от середины ряда при п = 8. Имеем:
Имеем:
mc = 3,66/√(48,56–27,56) = 0,7987 ~ 0,8
Критерий Стьюдента равен отношению
c/mc = 2,4/0,8 = 3,0
Табличное значение критерия при пяти степенях свободы составляет 2,57. Таким образом, отличие ускорения роста экспорта Японии от нуля за 1988–1995 гг. установлено с надежностью, большей, чем 0,95.
Для оценки основного параметра экспоненциального тренда — среднего коэффициента изменения уровней k — целесообразнее всего применить предложенную Е.М. Четыркиным [18, с. 173–174] методику: проверяется отличие от нуля логарифма среднего коэффициента изменения с учетом среднего квадратического отклонения логарифмов фактических уровней от логарифмов уровней тренда. Иначе говоря, методика та же, как для прямой линии, но только не для абсолютных величин, а для их логарифмов.
Формула средней ошибки логарифма коэффициента изменения к имеет вид:
Рассмотрим эту методику на примере экспоненциального роста народонаселения Земли по десятилетиям 1950–2000 гг. (см. рис. 4.3 и табл. 5.6). Тренд имеет вид:
y^i = 4004∙1,195t
В логарифмическом виде
In y^i = 8,295 + 0,1783ti.