Если эту зону мы хотим определить с достаточно большой вероятностью, то среднюю ошибку следует умножить на величину t-критерия Стьюдента для соответствующей вероятности. Границы доверительной зоны тренда среднегодовой температуры с вероятностью 0,95 изображены на рис. 7.1.
Чем сильнее колеблемость уровней и чем меньше база расчета тренда, тем шире доверительная зона генерального тренда и тем быстрее она расширяется от середины ряда к его концам. Зона для параболического тренда расширяется при этом гораздо сильнее, чем для линейного тренда.
Рис. 7.1. Доверительные границы генерального тренда среднегодовой температуры воздуха в Санкт-Петербурге
____ — средний тренд
____ — границы тренда с вероятностью 0,95
7.3. Вероятностная оценка показателей колеблемости
Для сравнения показателей колеблемости разных временных рядов необходимо использовать известные в математической статистике методы вероятностной оценки среднего квадратического отклонения или коэффициента вариации. Их можно применять для вероятностных оценок среднего квадратического отклонения уровней ряда от тренда и коэффициента колеблемости.
Средняя ошибка репрезентативности выборочной оценки генерального среднего квадратического отклонения от тренда при их нормальном распределении имеет вид [19, с. 499–500]:
mS(t) = S(t)/√2n
где S(t) — среднее квадратическое отклонение уровней от тренда;
n — число уровней.
Критерий Стьюдента — отношение среднего квадратического отклонения уровней от тренда к его средней ошибке — примет вид: S(t): mS(t) = √2n. Так как эту величину, как и табличное значение критерия Стьюдента для вероятностей 0,95 и 0,99, можно свести в одну таблицу, получаем готовую таблицу для оценки надежности отличия генерального среднего квадратического отклонения уровней от нуля (табл. 7.3).
Таким образом, если обнаружена колеблемость уровней ряда, число уровней которого более 5, то можно считать достаточно надежно установленным, что отличие S(t) от нуля не случайно.
Доверительная граница среднего квадратического отклонения уровней от тренда с заданной вероятностью равна
S(t) ± tСтьюд∙mS(t).
Например, доверительный интервал средней силы колебаний среднегодовой температуры воздуха в Санкт-Петербурге за 1957–1997 гг. с вероятностью 0,95 составил:
1,121 ± 2,03∙1,121/√(2∙41) = 1,121 ± 0,251°.
Доверительный интервал среднего квадратического отклонения урожайности зерновых культур во Франции за 1970–1995 гг. (см. табл. 6.5) с вероятностью 0,99 составляет:
3,54 ± 2,80∙3,54/√(2∙26) = 3,54 ± 1,37 ц/га
Ввиду довольно значительной силы колебаний, доверительный интервал оценки генерального среднего квадратического колебания также довольно широк, Ошибка возрастает прямо пропорционально силе колеблемости и росту надежности оценки, а уменьшается обратно пропорционально корню квадратному из числа уровней ряда.
Средняя ошибка репрезентативности выборочной оценки генерального коэффициента колеблемости имеет вид [20]:
где V(t) — коэффициент колеблемости, %.
Например, коэффициент вариации урожайности зерновых во Франции за 1970–1995 гг. составил 6,9 %. Если рассматривать этот показатель как выборочный для Франции вообще на больший период, то средняя ошибка коэффициента как оценки генерального равна:
[6,9/√(2∙26)]∙√(1 + 2∙0,0692) = 0,96%
С вероятностью 0,95 при 25 степенях свободы вариации доверительные границы генерального коэффициента вариации составят 6,9 % ± 2,06 0,96 %, или от 4,94 до 8,86 %. Таким образом, почти наверняка колеблемость слабее 10 %.
Не менее, а может и более, важной задачей, чем вероятностная оценка генеральных параметров колеблемости, является вероятностная оценка крайних отклонений от тренда, например, сильных неурожаев, экстремальных температур и влажности воздуха, скорости ветра и т. п. Эти экстремальные отклонения определяют производственные риски, а оценка вероятности рисков — одна из главных задач менеджмента в любой отрасли народного хозяйства.
Вероятностная оценка отклонений от тренда возможна в том случае, если известен закон вероятностей их распределения по величине отклонений. Хотя ни в одном реальном временном ряду отклонения не подчиняются абсолютно точно какому-то теоретическому распределению вероятностей, во многих процессах распределение вероятностей отклонения от тренда близко к нормальному закону. В нашем примере распределение отклонений от тренда среднегодовой температуры воздуха в Санкт-Петербурге близко к нормальному (табл. 7.4).