Вероятность попасть в интервал при условии нормального распределения отклонений по их величине Pi — это половина разности интегральных функций нормального распределения:
0,5[F(t1) — F(t2)], где t1, t2 — значения критерия для границ интервала. Для среднего интервала от
t1 = -0,36 до t2 = +0,36
вероятность Р = F(0,36). теоретические частоты fTi есть произведение n∙ Pi, где n = 41.
Итог последней графы — это критерий χ2 (хи-квадрат). Табличное значение критерия для значимости 0,10 равно 4,60 при двух степенях свободы, а фактическое — много ниже табличного. Следовательно, вероятность сходства распределения отклонений температуры от тренда с нормальным много больше, чем 0,1, и гипотеза о нормальном распределении не отвергается.
Другие временные ряды, рассмотренные в данном учебном пособии, слишком коротки для проверки по χ2. В 1976–1980 гг. кафедрой статистики Ленинградского сельскохозяйственного института (ЛСХИ) было проведено по договору с Управлением статистики сельского хозяйства Центрального статистического управления (ЦСУ) СССР изучение колебаний урожайности по многим культурам в областях и краях РСФСР. Среди других был получен вывод о близости распределения отклонений урожайности от трендов по величине отклонений к нормальному закону распределения [19, с. 3–9].
Этот эмпирический вывод подкрепляется теоретическими соображениями: колебания урожайности зависят от очень большого числа сравнительно независимых факторов, каждый из которых не играет определяющей роли. Следовательно, колебания урожайности отвечают условиям «предельной теоремы Ляпунова», которая устанавливает, когда случайная переменная имеет нормальное распределение вероятностей. На этом основании будем считать, что и колебания урожайности зерновых во Франции подчинены нормальному закону. Среднее квадратическое отклонение, согласно данным табл. 6, равно 3,54 ц/га. Находим вероятности рисков, т. е. что отклонение от тренда вниз (неурожай) превышает уровни -5 ц/га; -7 ц/га; -10 ц/га; -12 ц/га (табл. 7.5).
Вероятность Р равна половине разности между единицей и F(t), т. е. применяется односторонний критерий (иногда в литературе приводится готовая таблица вероятностей именно этого критерия). Поясним определение этой вероятности с помощью графика (рис. 7.2), из которого ясно и то, что у нас обозначено как F(t).
Рис. 7.2. Вероятность отрицательного отклонения, большего по величине, чем заданная граница
Таким образом, вероятность небольшого неурожая (отклонения на 5 ц/га или больше) почти равна 8 %, т. е. в среднем может случиться 8 раз за 100 лет, а вот вероятность сильного неурожая во Франции (больше, чем на 10 ц/га вниз от тренда) очень мала — всего 0,002. Таким риском можно пренебречь. Конечно, это относится к стране в целом, а для отдельного фермера и колеблемость урожаев будет гораздо больше, и вероятность риска. Для ее определения нужно анализировать временной ряд урожайности на ферме.
Логически ясно (это видно из графика, рис. 7.2), что точно такова же, как вероятность неурожая больше, чем на 2S(t) от тренда вниз, так и вероятность высокого урожая больше, чем на 2S(t) от тренда вверх. И с таким «сверхурожаем» тоже может быть связан коммерческий риск — риск сильного падения цены на товар.
Если же распределение колебаний по их величине далеко от нормального, а закон распределения вообще неизвестен, приближенную оценку вероятностей риска возникновения больших отклонений от тренда можно получить на основе эмпирических частостей таких отклонений. Для этого, конечно, необходим достаточно длинный временной ряд. Нельзя на основе данных за 5–6 лет предсказывать вероятность отклонения, случающегося в среднем раз в 20–25 лет. Методику эмпирической оценки возможности крупных отклонений покажем на условном примере, приведенном в табл. 7.6.
Средняя ошибка репрезентативности выборочной доли (частости), как известно, равна:
