Ь^ = П^∙у^ = (120 + 5t)∙(29 + t = 120∙29 + 5t∙29 + 120t + 5t∙t = 3480 + (145 +120)t + 5t2,
что точно совпадает с ранее полученным по ряду уровней самого валового сбора уравнением его тренда. Полученный результат полностью соответствует логике взаимосвязи показателей и кажется тривиальным. Однако фактический тренд валового сбора по данным табл. 9.1 вовсе не соответствует этой логике, т. е. тренд валового сбора при наличии колеблемости площади и (или) урожайности уже не равен произведению трендов площади и урожайности. Парабола II порядка, вычисленная по данным ряда валового сбора табл. 9.1, имеет вид:
B^i = 3472,2 + 264,3ti + 4,9ti2.
И если в данном примере расхождения параметров невелики, то при более сильной колеблемости они могут оказаться уже значительно большими. Главный результат наших исследований состоит в том, что установлен факт несовпадения тренда произведения с произведением трендов сомножителей.
Следующая наша задача — теоретическое объяснение этого факта. Введем обозначения: Xi и Zi — фактические значения уровней временных рядов признаков-сомножителей; X^i, Z^i — их трендовые значения; y^i — трендовые значения признака-произведения; yi — его фактические уровни. При этом имеется точное равенство: yi = Xi∙Zi. Тренды X^i, Z^i полагаем линейными, следовательно, тренд y^i — парабола II порядка. Будем также для упрощения записи вести отсчет номеров периодов времени ti от середины временных рядов. Фактические уровни признаков можно представить как сумму уровня тренда и отклонения от него, обозначаемого соответственно Uxi, Uzi, Uyi, так что
xi = x^i + Uxi; zi = z^i + Uzi; yi = y^i + Uyi.
Так как
yi = xizi, то yi = (x^i + Uxi)∙(z^i + Uzi). (9.1)
Рассмотрим произведение трендов сомножителей:
x^i∙z^i = (x‾ + bxti)∙(z‾ + bzti) = x‾∙z‾ + x‾bzti + z‾bxti + bxti∙bzti = x‾∙z‾+ (x‾bz + z‾bx)∙ti + bxbzti2 (9.2)
Уравнение (9.2) есть уравнение параболы 11 порядка, в котором свободный член равен произведению средних величин признаков-сомножителей, он же — средняя величина признака-произведения у‾. Второй член — это средний абсолютный прирост признака-произведения за период, а третий член — половина ускорения признака-произведения. Эти результаты не новы, но следует твердо усвоить, что при равномерном росте (изменении) признаков х и z их произведение у изменяется не равномерно, а с ускорением. Если изменения признаков-сомножителей имеют одинаковые знаки, то это ускорение — положительная величина; если изменения признаков имеют разные знаки, ускорение их произведения — отрицательная величина. При наличии более двух сомножителей тренд их произведения будет параболой более высокого порядка со значительно сложным поведением, в данном учебнике подробно не рассматривается.
Упомянем все же, что если оба признака-сомножителя изменяются по параболе II порядка, то тренд их произведения будет уже параболой IV порядка. Если тренды сомножителей — экспоненты, то и тренд их произведения — тоже экспонента, но вот каков ее параметр, об этом часто судят неверно. Многие руководители предприятий полагают, что если число работников будет возрастать на 10 %, а производительность их труда — на 8 % в год, то выпуск продукции будет увеличиваться на 10 + 8 = 18 % или даже на 10∙8 = 80 %) в год! Оба эти ответа неправильны. Тренд произведения будет иметь среднегодовой темп роста, равный произведению темпов сомножителей, т. е. 1,08∙1,10= 1,188, или 118,8 %); следовательно, прирост продукции составит 18,8 %) в год к предыдущему уровню.
Далее рассмотрим свойства тренда признака-произведения при наличии колебаний каждого из признаков-сомножителей, опишем структуру каждого из параметров его параболического тренда