4.1. Прямолинейный тренд и его свойства
Самым простым типом линии тренда является прямая линия, описываемая линейным (т. е. первой степени) уравнением тренда:
y^i = a + b∙ti
где y^i — выровненные, т. е. лишенные колебаний, уровни тренда для лет с номером i;
а — свободный член уравнения, численно равный среднему выровненному уровню для момента или периода времени, принятого за начало отсчета, т. е. для t = 0;
Ь — средняя величина изменения уровней ряда за единицу изменения времени;
ti — номера моментов или периодов времени, к которым относятся уровни временного ряда (год, квартал, месяц, дата).
Среднее изменение уровней ряда за единицу времени — главный параметр и константа прямолинейного тренда. Следовательно, этот тип тренда подходит для отображения тенденции примерно равномерных изменений уровней: равных в среднем абсолютных приростов или абсолютных сокращений уровней за равные промежутки времени. Практика показывает, что такой характер динамики встречается достаточно часто. Причина близких к равномерному абсолютных изменений уровней ряда состоит в следующем: многие явления, как, например, урожайность сельскохозяйственных культур, численность населения региона, города, сумма дохода населения, среднее потребление какого-либо продовольственного товара и др., зависят от большого числа различных факторов. Одни из них влияют в сторону ускоренного роста изучаемого явления, другие — в сторону замедленного роста, третьи — в направлении сокращения уровней и т. д. Влияние разнонаправленных и разноускоренных (замедленных) сил факторов взаимно усредняется, частично взаимно погашается, а равнодействующая их влияний приобретает характер, близкий к равномерной тенденции. Итак, равномерная тенденция динамики (или застоя) — это результат сложения влияния большого количества факторов на изменение изучаемого показателя.
Графическое изображение прямолинейного тренда — прямая линия в системе прямоугольных координат с линейным (арифметическим) масштабом на обеих осях. Пример линейного тренда дан на рис. 4.1.
Абсолютные изменения уровней в разные годы не были точно одинаковыми, но общая тенденция сокращения численности занятых в народном хозяйстве очень хорошо отражается прямолинейным трендом. Его параметры вычислены в гл. 5 (табл. 5.3).
Рис. 4.1. Динамика числа занятых в народном хозяйстве в России на 31 декабря каждого года
Основные свойства тренда в форме прямой линии таковы:
• равные изменения за равные промежутки времени;
• если средний абсолютный прирост — положительная величина, то относительные приросты или темпы прироста постепенно уменьшаются;
• если среднее абсолютное изменение — отрицательная величина, то относительные изменения или темпы сокращения постепенно увеличиваются по абсолютной величине снижения к предыдущему уровню;
• если тенденция к сокращению уровней, а изучаемая величина является по определению положительной, то среднее изменение Ь не может быть больше среднего уровня а;
• при линейном тренде ускорение, т. е. разность абсолютных изменений за последовательные периоды, равно нулю.
Свойства линейного тренда иллюстрирует табл. 4.1. Уравнение тренда:
y^i = 100 + 20*ti
Показатели динамики при наличии тенденции сокращения уровней приведены в табл. 4.2.
4.2. Параболический тренд и его свойства
Под названием параболического будем иметь в виду тренд, выраженный параболой II порядка с уравнением
y^i = a + b*t + c*t2.
Параболы III порядка и более высоких порядков редко применимы для выражения тенденции динамики и слишком сложны для получения надежных оценок параметров при ограниченной длине временного ряда. Прямую линию, с точки зрения математики, можно также считать одним из видов парабол — параболой I порядка, которая уже рассмотрена ранее.