В тех случаях, когда по существу изучаемого процесса допустимо считать единым трендом обе ветви параболы, представляет большой интерес решение задачи о нахождении того периода или момента времени, когда уровень тренда достигает максимума (когда Ь > 0, с < 0) или минимума (если Ь < 0, с > 0). Экстремальная точка параболы y^ = a + bt + ct2 достигается при нулевом значении первой производной:
df/dt = (a + bt + ct2) = b + 2ct.
Из равенства b + 2ct = 0 имеем: t = — b/2c.
Например, если y^ = 100 + 20t — 2t2, то максимум парабола имеет при t = -20/2(-2) = 5.
Максимальное значение уровня тренда при t = 5 составит:
y^max = 100 + 20∙5–2∙52 = 150.
Если имеем параболу при Ь < 0, а с > 0, например:
y^i = 200 — 20t + 2t2, то минимальное значение тренда достигается при t = b/2c = 20/2∙2 = 5, и это минимальное значение составит:
y^min = 200 — 20∙5 + 2∙52 = 150.
4.3. Экспоненциальный тренд и его свойства
Экспоненциальным трендом называют тренд, выраженный уравнением:
y^i = a∙kIi или в форме: y^i = exp [ln а + In k∙ti;]
Свободный член экспоненты а равен выровненному уровню, т. е. уровню тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени, т. е. при t = 0. Основной параметр экспоненциального тренда к является постоянным темпом изменения уровней (ценным). Если к>1, имеем тренд с возрастающими уровнями, причем это возрастание не просто ускоренное, а с возрастающим ускорением и возрастающими производными всех более высоких порядков. Если к<1, то имеем тренд, выражающий тенденцию постоянного, но замедляющегося сокращения уровней, причем замедление непрерывно усиливается. Экстремума экспонента не имеет и при t —> oo стремится либо к оо при k > 1, либо к 0 при k < 1.
Экспоненциальный тренд характерен для процессов, развивающихся в среде, не создающей никаких ограничений для роста уровня. Из этого следует, что на практике он может развиваться только на ограниченном промежутке времени, так как любая среда рано или поздно создает ограничения, любые ресурсы со временем исчерпаемы. Однако практика показала что, например, численность населения Земли на протяжении 1950–1985 гг. возрастала примерно по экспоненте со среднегодовым темпом роста к = 1,018 и за это время возросла вдвое — с 2,5 до 5 млрд. чел. (рис. 4.3). В настоящее время темп роста населения постепенно уменьшается.
Рис. 4.3. Рост народонаселения Земли
Экспоненциальный рост объема реализации и производства происходит при возникновении новых видов продукции и их освоении промышленностью: при появлении цветных телевизоров, видеомагнитофонов, пейджеров и т. п., но когда производство начинает наполнять рынок, приближаться к спросу, экспоненциальный рост прекращается.
Расчет экспоненциального тренда дан в гл. 5. Основные свойства экспоненциального тренда:
1. Абсолютные изменения уровней тренда пропорциональны самим уровням.
2. Экспонента экстремумов не имеет: при k > 1 тренд стремится к + оо, при k < 1 тренд стремится к нулю.
3. Уровни тренда представляют собой геометрическую прогрессию: уровень периода с номером t = т есть a*km.
4. При k > 1 тренд отражает ускоряющийся неравномерно рост уровней, при k < 1 тренд отражает замедляющееся неравномерно уменьшение уровней. Поведение основных показателей динамики в этих случаях рассмотрено в табл. 4.5 и 4.6.
В табл. 4.5 и 4.6 в последней графе приведены редко применяемые показатели динамики III порядка: ускорение (или прирост) ускорения и замедление ускорения. Эти абсолютные показатели даны для наглядного пояснения главного отличия экспоненциального тренда от парабол любого порядка: экспонента не имеет постоянных производных любого порядка по времени. Постоянен только цепной темп изменения.
Читатель может заинтересоваться и таким вопросом: как назвать тенденцию динамики, при которой и темп изменения был бы непостоянен, а имел постоянное абсолютное или относительное изменение, например, уравнение типа