y^ = a(k + bti)ti или y^i = akt2 т. д.
Подобные «гиперэкспоненты» не применяются статистикой, ибо любой, сколь угодно быстрый, сколь угодно ускоряющийся рост может быть отображен обычной экспонентой — стоит лишь уменьшить период, за который происходит возрастание (или сокращение) уровней в к раз. По своему существу экспоненциальное развитие процесса и есть предельно возможное, предельно благоприятное по условиям развития, так как оно осуществляется в среде, не ограничивающей развитие данного процесса. Но следует помнить, что это происходит только до определенного времени, так как каждая среда, каждый ресурс в природе ограничен. Единственный спорный в науке процесс, по которому до сих пор нет доказательства ограниченности его во времени, — это экспоненциальное замедляющееся расширение Вселенной. Ограничено ли оно и сменится ли со временем сжатием или будет продолжаться бесконечно, зависит от значения средней плотности вещества и излучения во Вселенной, которую пока науке установить не удалось, ибо не все формы существования вещества и полей науке известны. Зато интересно знать, что самый фундаментальный процесс, охватывающий всю известную Вселенную, уже, по крайней мере, 12–15 млрд. лет развивается по экспоненте.
4.4. Гиперболический тренд и его свойства
Из различных форм гипербол рассмотрим только наиболее простую:
y^ = a + (b/t).
Если основной параметр гиперболы Ь > 0, то этот тренд выражает тенденцию замедляющегося снижения уровней и при t — > oo, y^ — > а. Таким образом, свободный член гиперболы — это предел, к которому стремится уровень тренда.
Такая тенденция наблюдается, например (рис. 4.4), при изучении процесса снижения затрат любого ресурса (труда, материалов, энергии) на единицу данного вида продукции или ее себестоимости в целом. Затраты ресурса не могут стремиться к нулю, значит, экспонента не соответствует сущности процесса; нужно применить гиперболическую формулу тренда.
Если параметр Ь < 0, то с возрастанием t, т. е. с течением времени, уровни тренда возрастают и стремятся к величине а при t —> oо.
Такой характер динамики присущ, например, показателям КПД двигателей или иных преобразователей энергии (трансформатор тока, фотоэлемент и т. п.). По мере развития научно-технического прогресса эти КПД постепенно повышаются, но никогда не могут превысить определенного предела для каждого типа двигателя и не могут превысить 100 % в принципе для любого преобразователя энергии. При расчете гиперболического тренда нельзя нумеровать года от середины ряда, так как значения 1/ti должны быть всегда положительными.
Основные свойства гиперболического тренда:
1. Абсолютный прирост или сокращение уровней, ускорение абсолютных изменений, темп изменения — все эти показатели не являются постоянными. При Ь > 0 уровни замедленно уменьшаются, отрицательные абсолютные изменения, а также положительные ускорения тоже уменьшаются, цепные темпы изменения растут и стремятся к 100 %.
Рис. 4.4. Динамика расхода условного топлива на производство электроэнергии (г на 1 кВт-ч) на электростанциях региона.
2. При Ь < 0 уровни замедленно возрастают, положительные абсолютные изменения, а также отрицательные ускорения и цепные темпы роста замедленно уменьшаются, стремясь к 100 %.
Как видим, гиперболический тренд описывает в любом случае тенденцию такого процесса, показатели которого со временем затухают, т. е. происходит переход от движения к застою. Иллюстрацией этих свойств может служить табл. 4.7.
4.5. Логарифмический тренд и его свойства
Если изучаемый процесс приводит к замедлению роста какого-то показателя, но при этом рост не прекращается, не стремится к какому-либо ограниченному пределу, то гиперболическая форма тренда уже не подходит. Тем более не подходит парабола с отрицательным ускорением, по которой замедляющийся рост перейдет со временем в снижение уровней. В указанном случае тенденция изменения лучше всего отображается логарифмической формой тренда: y^ = a + b + ln ti.