Сингулярность - это место, где переменная величина становится бесконечно большой - и один оборот на полюсе переносит вас через долготы с бесконечной скоростью.
Сингулярность полюсов может быть "изгнана", если мы сместим сферическую систему координат, используемой для изображения Земли, или вообще полностью изменим систему координат - например, вы можете увеличить расстояние между линиями долготы при приближении к полюсам, чтобы эти линии не сходились вообще. Разверните получившийся цилиндр, и вы получите проекцию Меркатора - очень полезную карту, если помнить, что Гренландия на самом деле не больше, чем Южная Америка.
Чтобы отобразить Вселенную, нам нужно три измерения пространства вместо двух, плюс измерение времени. И карты Вселенной в этом четырехмерном пространстве-времени также имеют координатные особенности - например, вокруг черной дыры.
Наша первая карта пространства-времени черной дыры - метрика Шварцшильда - сравнительно простой фрагмент алгебраического выражения, полученный Карлом Шварцшильдом всего через пару месяцев после того, как Эйнштейн опубликовал свою общую теорию относительности. Метрика Шварцшильда позволяет рассчитать траекторию движения объекта в безумном гравитационном поле черной дыры. Эта метрика даже "работает" внутри черной дыры - под неизбежным горизонтом событий.
Хотя метрика Шварцшильда и "работает" в обеих этих областях, ее нельзя использовать для построения траектории, которая фактически пересекает горизонт событий. Это происходит потому, что на горизонте событий время, по-видимому, замерзает с точки зрения отдаленного наблюдателя. А ведь метрика Шварцшильда определяется в единицах пространства и времени именно этого наблюдателя. Поэтому, если попытаться проследить путь материального тела через горизонт по часам внешнего наблюдателя, то момент пересечения никогда не наступит! Это похоже на то, как Ахиллес гоняется за черепахой в парадоксе Зенона: Ахиллес на каждом шаге пробегает лишь половину оставшегося расстояния и поэтому никогда не догонит черепаху.
Конечно, в реальности Ахиллес догнал бы черепаху и, в связанной с ним системе координат, провалился бы сквозь горизонт событий. Горизонт событий - это просто координатная сингулярность, подобная полюсам Земли, и поэтому для создания гладкой карты черной дыры нам нужна проекция Меркатора.
В проекции Меркатора расстояние между линиями долготы умножается на коэффициент, который зависит от широты точки измерения, и этот коэффициент становится бесконечно большим на полюсах, чтобы исключить сходящиеся линии долготы. Для черной дыры мы вместо этого соединяем время с чем-то, называемым координатой черепахи в парадоксе Зенона. Это мера расстояния, которая становится бесконечно компактной при приближении к горизонту. Компактификация устраняет бесконечное растяжение времени, так что координатные линии плавно проходят через горизонт событий.
Первой такой схемой были координаты Эддингтона-Финкельштейна, и они показали, что сингулярность горизонта событий является иллюзией. Координаты Крускала-Секереша улучшили карту, показав, что траектория движения луча света (фотона) всегда проходит под углом 45 градусов к горизонту событий. На диаграмме Крускала-Секереша горизонт событий становится также 45-градусной линией, хотя на самом деле имеет постоянный физический размер. Поскольку ничто не может путешествовать быстрее света, это очень ясно дает понять, какие части вселенной доступны.
Координаты Крускала - Секереша
Близко к горизонту событий даже на скоростной трассе есть только узкое окно спасения. Внутри же горизонта событий такого окна не остается. Сейчас еще более популярны среди межгалактических путешественников координаты Пенроуза. На диаграммах Пенроуза пространство и время также объединяются на бесконечном расстоянии, так что вся вселенная помещается на одной диаграмме.
В проекции Меркатора мы знаем, что линии долготы и широты не просто заканчиваются на краю страницы - они зацикливаются. Общая теория относительности использует нулевую геодезическую линию - путь, пройденный световыми лучами, - в сетке пространства-времени, и мы также предполагаем, что эти линии не заканчиваются. Нет резкого перегиба пространства-времени, развевающегося на ветру.
Единственное место, где заканчиваются геодезические - это настоящие сингулярности, как в центре черной дыры. На диаграмме Пенроуза мы видим, что световые лучи могут либо уйти от черной дыры на бесконечное расстояние, либо продвинуться к центру черной дыры и потеряться.