Допустим еще, что имеется электрон, спин которого направлен по полю. Чему равны амплитуды С1и С2для этого электрона? Иными словами, обозначая состояние электрона |y>, мы хотим написать
где C1и С2 равны
а |1> и |2>обозначают то же самое, что раньше обозначалось |+> и |-> (по отношению к выбранной нами оси z).
Ответ на этот вопрос также содержится в наших общих уравнениях для систем с двумя состояниями. Во-первых, мы знаем, что раз спин электрона параллелен В, то электрон находится в стационарном состоянии с энергией ЕI=-mB. Поэтому и c1 и С2 должны изменяться как
[см. уравнение (7.18)]; и их коэффициенты а1и а2 даются формулой (8.5):
Вдобавок a1 и а2 должны быть нормированы так, чтобы было |a|2 +|а2|2=1. Величины Н11и H12 мы можем взять из (8.22), используя равенства
Bz=Bcosq, Вх=Вsinqcosj, Ву=Вsinqsinj.
Тогда мы имеем
Кстати, скобка во втором уравнении есть просто
Подставляя эти матричные элементы в (8.24) и сокращая на -mB, находим
Зная это отношение и зная условие нормировки, можно найти и а1, и а2. Сделать это нетрудно, но мы сократим путь, прибегнув к одному трюку. Известно, что
1-cosq=2sin2(q/2) и sinq=2sin(q/2)cos(q/2). Значит, (8.27) совпадает с
Один из ответов, следовательно, таков:
Он удовлетворяет и уравнению (8.28), и условию
Вы знаете, что умножение a1 и а2 на произвольный фазовый множитель ничего не меняет. Обычно формуле (8.29) предпочитают более симметричную запись, умножая на e'f'2. Принято писать так:
Это и есть ответ на наш вопрос. Числа а1и а2 — это амплитуды того, что электрон будет замечен спином вверх или вниз (по отношению к оси z), если известно, что его спин направлен вдоль оси (q,j). [Амплитуды C1и С2равны просто a1 и a2, умноженным на
Заметьте теперь занятную вещь. Напряженность В магнитного поля нигде в (8.30) не появляется. Тот же результат разумеется, получится в пределе, если поле В устремить к нулю Это означает, что мы дали общий ответ на вопрос, как представлять частицу, спин которой направлен вдоль произвольной оси. Амплитуды (8.30) — это проекционные амплитуды для частиц со спином 1/2, подобные проекционным амплитудам для частиц со спином 1, приведенным в гл. 3 [уравнения (3.38)]. Теперь мы сможем находить для фильтрованных пучков частиц со спином 1/2 амплитуды проникновения через тот или иной фильтр Штерна — Герлаха.
Пусть |+z> представляет состояние со спином, направленным по оси z вверх, а |-z> — состояние со спином вниз. Если | +z'> представляет состояние со спином, направленным вверх по оси z', образующей с осью z углы q и j, то в обозначениях гл. 3 мы имеем
Эти результаты эквивалентны тому, что мы нашли из чисто геометрических соображений в гл. 4 [уравнение (4.36)]. (Если вы в свое время решили пропустить гл. 4, то вот перед вами один из ее существенных результатов.)
Напоследок вернемся еще раз к тому примеру, о котором уже не раз говорилось. Рассмотрим такую задачу. Сперва имеется электрон с определенным образом направленным спином, затем на 25 минут включается магнитное поле в направлении z, а затем выключается. Каким окажется конечное состояние? Опять представим состояние в виде линейной комбинации |y>=|1>C1+|2>С2, Но в нашей задаче состояния с определенной энергией являются одновременно нашими базисными состояниями |1> и |2>, Значит, С1и С2 меняются только по фазе. Мы знаем, что
и
Мы сказали, что вначале у спина электрона было определенное направление. Это означает, что вначале С1и С2были двумя числами, определяемыми формулами (8.30). Переждав Т секунд, новые С1 и С2 мы получим из прежних умножением соответственно на