8a. Квантовая механика I

* Мы немного упрощаем дело. Первоначально химики думали, что должны существовать четыре формы дибромбензола: две формы с атомами брома при соседних атомах углерода (орто-дибромбензол), третья форма с атомами брома при атомах углерода, идущих через один (.мета-дибромбензол), и четвертая форма с атомами брома, стоящими друг против друга (пара-дибромбензол). Однако отыскали они только три формы — существует лишь одна форма орто-молекулы.

* До тех пор, пока нет сильных магнитных полей, это предположение вполне удовлетворительно. Влияние магнитных полей на электрон мы обсудим в этой же главе позже, а очень слабые спиновые эффекты в атоме водорода — в гл. 10.

 

 

Глава 9 ЕЩЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СОСТОЯНИЯМИ

§ 1. Спиновые матрицы Паули

§ 2.Спиновые матрицы как операторы

§ З. Решение уравнений для двух состояний

§ 4. Состояния поляризации фотона

§ 5. Нейтральный K-мезон *

§ 6. Обобщение на системы с N состояниями

Повторить: гл. 33 (вып. 3) «Поляризация»

§ 1. Спиновые матрицы. Паули

Продолжаем обсуждение свойств двухуровневых систем. В конце предыдущей главы мы говорили о частице со спином ^l/₂в магнитном поле. Мы описывали спиновое состояние, задавая амплитуду С₁того, что z-компонента спинового момента количества движения равна +h/2, и амплитуду С₂ того, что она равна -h/2. В предыдущих главах мы эти базисные состояния обозначали |+> и |->. Прибегнем опять к этим обозначениям, хотя, когда это будет удобнее, мы будем менять их на |1> и |2>. Мы видели в последней главе, что когда частица со спином ¹/₂ и с магнитным моментом m, находится в магнитном поле В=(В_x, В_y, B_z), то амплитуды С₊(=C₁)и С_-(=С₂) связаны следующими дифференциальными уравнениями:

Иначе говоря, матрица-гамильтониан H_ijимеет вид

конечно, уравнения (9.1) совпадают с

где i и j принимают значения + и - (или 1 и 2).

Эта система с двумя состояниями — спин электрона — настолько важна, что очень полезно было бы найти для ее описания способ поаккуратнее и поизящнее. Мы сейчас сделаем небольшое математическое отступление, чтобы показать вам, как обычно пишутся уравнения системы с двумя состояниями. Это делается так: во-первых, заметьте, что каждый член гамильтониана пропорционален m, и некоторой компоненте В; поэтому (чисто формально) можно написать

Здесь нет какой-либо новой физики; эти уравнения просто означают, что коэффициенты— их всего 4X3=12 — могут быть представлены так, что (9.4) совпадет с (9.2).

Посмотрим, почему это так. Начнем с B_z. Раз В_z встречается только в H₁₁ и H₂₂, то все будет в порядке, если взять

Мы часто пишем матрицу H_ijв виде таблички такого рода:

Для гамильтониана частицы со спином ¹/₂ в магнитном поле В—это все равно что

Точно так же и коэффициенты можно записать в виде матрицы

Расписывая коэффициенты при В_х, получаем, что элементы матрицы s_хдолжны иметь вид

Или сокращенно:

Инаконец, глядя на B_y, получаем

или

Если так определить три матрицы сигма, то уравнения (9.1) и (9.4) совпадут. Чтоб оставить место для индексов i и j, мы отметили, какая а стоит при какой компоненте В, поставив индексы х, у, z сверху. Обычно, однако, i и j отбрасывают (их легко себе и так вообразить), а индексы х, у и z ставят внизу. Тогда (9.4) записывается так: