Значит, у нас есть многочлен N-йстепени, который равняется нулю. У него, вообще говоря, есть N корней. (Нужно помнить, однако, что некоторые из них могут быть кратными корнями; это значит, что два или более корней могут быть равны друг другу.) Обозначим эти N корней так:
(пусть n обозначает n-е порядковое числительное, так что n принимает значения I,II, . . ., N). Некоторые из этих энергий могут быть между собой равны, скажем ЕII=ЕIII, но мы решили все же обозначать их разными именами.
Уравнения (9.60) или (9.61) имеют по одному решению для каждого значения Е [из (9.64)]. Если вы подставите любое из Е, скажем En, в (9.60) и найдете все аi, то получится ряд чисел аi, относящихся к энергии En . Этот ряд мы обозначим аi (n).
Если подставить эти аi (n) в (9.59), то получатся амплитуды Сi(n) того, что состояния с определенной энергией находятся в базисном состоянии |i>. Пусть |n> обозначает вектор состояния для состояния с определенной энергией при t=0. Тогда можно написать
где
Полное состояние с определенной энергией |yn(t)> можно тогда записать так:
или
Векторы состояний |n> описывают конфигурацию состояний с определенной энергией, но с вынесенной зависимостью от времени. Это постоянные векторы, которые, если мы захотим, можно использовать в качестве новой базисной совокупности.
Каждое из состояний |n> обладает тем свойством (в чем легко убедиться), что при действии на него оператором Гамильтона Н получится просто Еn , умноженное на то же состояние:
Значит, энергия Еn — это характеристическое число оператора Гамильтона Н^. Как мы видели, у гамильтониана в общем случае бывает несколько характеристических энергий. Физики обычно называют их «собственными значениями» матрицы Н. Для каждого собственного значения Н^, иными словами, для каждой энергии, существует состояние с определенной энергией, которое мы называли «стационарным». Состояния |n> обычно именуются «собственными состояниями Н^». Каждое собственное состояние отвечает определенному собственному значению Еn.
Далее, состояния |n> (их N штук) могут, вообще говоря, тоже быть выбраны в качестве базиса. Для этого все состояния должны быть ортогональны в том смысле, что для любой нары их, скажем |n> и |m),
<n|m>=0. (9.68)
Это выполнится автоматически, если все энергии различны. Кроме того, можно умножить все аi(n) на подходящие множители, чтобы все состояния были отнормированы: чтобы для всех n было
<n|n>=1. (9.69)
Когда оказывается, что (9.63) случайно имеет два (или больше) одинаковых корня с одной и той же энергией, то появляются небольшие усложнения. По-прежнему имеются две различные совокупности аi, отвечающие двум одинаковым энергиям, но состояния, которые они дают, не обязательно ортогональны. Пусть вы проделали нормальную процедуру и нашли два стационарных состояния с равными энергиями. Обозначим их |m>и |v>. Тогда они не обязательно окажутся ортогональными: если вам не повезло, то обнаружите, что
<m|v>№0.
Но зато всегда верно, что можно изготовить два новых состояния (обозначим их | m'> и |v'>) с теми же энергиями, но ортогональных друг другу:
<m'|v'>=0. (9.70)
Этого можно добиться, составив |m'> и |v'> из подходящих линейных комбинаций |m> и |v> с так подобранными коэффициентами, что (9.70) будет выполнено. Это всегда полезно делать, и мы будем вообще предполагать, что это уже проделано, так что можно будет считать наши собственноэнергетические состояния | n> все ортогональными.
Для интереса докажем, что когда два стационарных состояния обладают разными энергиями, то они действительно ортогональны. Для состояния |n> с энергией Еn