А вот превратить пластилиновый стакан в чашку с ручкой не удастся: ведь для ручки надо сделать дырку, то есть разорвать пластилин в каком-то месте, а мы условились, что разрывать и слеплять нельзя! Зато пластилиновую чашку можно превратить в бублик:
С точки зрения топологии стакан и ложка — это одно и то же, а чашка или бублик — совсем другое (однако чашка и бублик — тоже одно и то же!).
Далеко не всегда очевидно, что две фигуры «топологически одинаковы» — например, трудно поверить, что одну из этих пластилиновых «ручек» можно без разрывов и склеек превратить в другую, не снимая со стержня:
Однако вот промежуточные стадии такого превращения:
Задачи о кёнигсбергских мостах и о новом королевском за́мке — это настоящие топологические задачи: действительно, можно как угодно размещать башни и соединять их стенами любой формы, но пока мы не «разрываем» стен и не «склеиваем» их, задача остаётся той же самой!
Некоторые фигуры имеют настолько необычные топологические свойства, что перестаёшь верить собственным глазам. Одну из таких фигур обнаружил в середине XIX века немецкий учёный Мёбиус. Вы легко можете сами сделать «лист Мёбиуса» — возьмите полоску бумаги и склейте её в кольцо, повернув перед склеиванием на пол-оборота:
Чтобы убедиться в необычных свойствах листа Мёбиуса, попробуйте для начала покрасить его с одной стороны. Вы обнаружите, что карандаш или кисточка окрасят лист полностью! Но так и должно быть — дело в том, что у листа Мёбиуса, в отличие от «обычных» поверхностей (то есть таких, к которым мы привыкли), не две стороны, а только одна!
А теперь попробуйте угадать, что получится, если разрезать лист Мёбиуса вдоль кольца посередине. Распадется ли он, например, на два кольца? Берите ножницы и режьте! Интересно, поверите ли вы своим глазам?
НЕБЫЛИЦА ОБ ЭЙЛЕРЕ, КОТОРЫЙ РАЗГАДАЛ ЗАГАДКУ КЁНИГСБЕРГСКИХ МОСТОВ, ГУЛЯЯ ПО ПЕТЕРБУРГСКИМ
КОРОЛЕВСКАЯ ЛОГИКА
— А где же зал суда? — спросила Алиса: она читала в книжках, что суд происходит всегда в «зале суда».
— Залом будет этот двор, — показала Королева на один из трёх дворов за́мка.
Гости стали садиться прямо на траву, а для Короля и Королевы вынесли трон. Возле трона сразу же столпились какие-то карты и зверушки.
— Это, наверное, приближённые к трону, — догадалась Алиса (она не раз слышала о «приближённых к трону», но только теперь увидела, кто это такие!).
Сев на траву, Алиса обнаружила, что рядом с ней сидит Грифон.
— А где же Черепаха Будто? — спросила Алиса.
— Ползёт потихоньку прямо на бал, — ответил Грифон.
В этот момент Белый Кролик (он тоже оказался среди «приближённых к трону») поднял трубу и трижды протрубил.
Все замолчали, и в наступившей тишине Король Червей приказал Кролику:
— Читай обвинение!
Кролик развернул большой свиток пергамента и прочитал:
— Обвиняется Шляпник.
— А где обвиняемый? — поинтересовался Король.
— Его почему-то нет, — робко ответил Белый Кролик.
— Я есть! — раздался откуда-то голос Шляпника. Алиса обернулась и увидела, что Шляпник протискивается к трону между сидящими на траве.
— Почему ты опоздал? — строго спросил Король.
— Мартовский Заяц пригласил нас с Соней на чай... — начал Шляпник.
— Как! — вскричала Королева. — Из-за какого-то чая ты посмел опоздать на суд?
— Дело не в чае, а в часах, — сказал Шляпник. — Когда я пошёл к Мартовскому Зайцу, я забыл свои часы дома...
— Но разве у Зайца нет часов? — удивилась Королева.
— Часы у него, конечно, есть, — ответил Шляпник. — Но они остановились.
— Ну и что? — спокойно спросил Король. — Я уверен, что стоящие часы показывают точное время намного чаще, чем твои!
— И вовсе нет! — обиделся Шляпник. — С тех пор, как Заяц перестал смазывать мои часы сливочным маслом, они стали идти очень точно!