Для того, чтобы легче было разбираться в том, как связаны различные множества, то есть каковы их объединение и пересечение, математик Эйлер (о нём мы уже писали) предложил обозначать множества кругами — эти круги называются обычно «кругами Эйлера». Например, для «слишком страшной истории», которую Герцогиня рассказывала Младенцу, круги Эйлера выглядят так:
Горизонтальными линиями здесь заштриховано «множество пиратов, потерявших левый глаз», вертикальными — «множество пиратов, потерявших правый глаз», а двойная штриховка обозначает пересечение этих множеств, то есть «множество пиратов, потерявших оба глаза».
Раз для множеств можно определить сложение и умножение (пусть даже и с несколько необычными свойствами), значит, можно построить и «алгебру множеств». Эта алгебра действительно была построена, и оказалось, что она в точности совпадает с той «алгеброй логики», которую построил Буль (с ним мы тоже уже знакомы)!
Совпадение это, конечно, не случайно: дело в том, что логика имеет дело с высказываниями, а каждое высказывание — это утверждение о каких-то множествах. Возьмём, например, такое высказывание: «Миша хочет шоколадку или заводную машину!». Здесь речь идёт о предмете, который принадлежит сумме множеств «шоколадки» и «заводные машины». Предположим, выбрана заводная машина.
— Какую машину Миша хочет?
— Красную и большую!
Тут уже говорится о произведении двух множеств: «красных заводных машин» и «больших заводных машин»!
Пока учёные ограничивались конечными множествами, то есть множествами, содержащими конечное число элементов, никаких неожиданностей не возникало: использование множеств позволяло только, как говорил Эйлер, «облегчать рассуждения».
А вот когда стали изучать бесконечные множества, начались чудеса! К ним мы сейчас и перейдём.
НЕБЫЛИЦА О КАНТОРЕ, В КОТОРОЙ ВСЁ — ПРАВДА!
ШАХМАТНЫЙ БАЛ
Алиса с Чеширским Котом вышли к берегу моря и остановились перед обрывом. Далеко внизу пенился прибой.
— Как же мы попадём отсюда на бал? — удивлённо спросила Алиса и посмотрела на Кота.
Кот не ответил — он вглядывался вдаль и, казалось, чего-то ждал.
— За нами, наверное, должен прийти корабль, — подумала Алиса. — А, может быть, бал будет на самом корабле?
Она посмотрела туда, куда смотрел Кот, но не увидела ничего, кроме линии горизонта.
— Эта линия очень похожа на прямую, — сказала Алиса, показывая на линию горизонта.
— Ты уверена? — отозвался Кот.
— Ничего прямее даже представить невозможно! — воскликнула Алиса.
— Тогда посмотри кругом, — предложил Кот.
Алиса повела взглядом вдоль линии горизонта и с удивлением обнаружила, что море окружает их со всех сторон — они с Котом стояли теперь на одинокой скале посреди моря!
— Ну что? — широко улыбаясь, спросил Кот. — Ты по-прежнему считаешь, что линия горизонта похожа на прямую?
Алиса ещё раз обвела взглядом всю линию горизонта — для этого ей пришлось снова повернуться кругом!
— Нет, — признала она. — Линия горизонта возвращается в ту же точку, а прямая — не возвращается!
— Значит, линия горизонта — не прямая, — заключил Кот и, видя удивление Алисы, добавил: — Это окружность.
— Окружность рисуют циркулем, — вспомнила Алиса (она успела прочесть об этом в учебнике математики). — Но где же здесь циркуль?
— Циркуль — это твой взгляд, — пояснил Кот. — Все точки окружности находятся на одном и том же расстоянии от её центра — потому её и рисуют циркулем! А все точки линии горизонта находятся на одном и том же расстоянии от нас.
— Действительно, — согласилась Алиса, еще раз поворачиваясь вокруг себя и глядя на линию горизонта. — Скажите, мы ждём, когда за нами придёт корабль?