«О сравнении додекаэдра и икосаэдра». Эта книга упоминается Гипсиклом во введении к так называемой XIV книге «Начал» Евклида. В ней доказывалось, что если додекаэдр и икосаэдр вписаны в один и тот же шар, то их поверхности имеют то же отношение, что и их объемы.
Известны названия еще некоторых сочинений Аполлония, но о их содержании нет определенных сведений. Среди них — работа «О неупорядоченных иррациональностях», в которой, как можно предполагать, классификация иррациональных величин, содержащаяся в «Началах» Евклида, была распространена на более широкие классы иррациональностей. К сожалению, мы не располагаем данными, которые позволили бы судить, насколько далеко Аполлоний продвинулся в этой области.
Но даже из того, что мы знаем о достижениях Аполлония — то ли из его оригинальных текстов, то ли из свидетельств о нем математиков более позднего времени — мы вправе заключить, что в его лице эллинистическая эпоха дала миру первоклассного математического гения. В трудах Аполлония греческая геометрическая алгебра достигла высшего расцвета. После него это направление математической науки начинает постепенно хиреть и иссякать. Для дальнейшего успешного развития античная математика нуждалась в новых импульсах; эти импульсы, однако, нельзя было почерпнуть в тогдашней действительности.
«Малые» математики эпохи эллинизма
Наряду с гигантскими фигурами Евклида, Архимеда и Аполлония в Александрии и в других культурных центрах III—II вв. до н. э. жили и работали математики меньшего калибра, не давшие новых идей и не разработавшие принципиально новых теорий. И все же некоторые из них заслуживают того, чтобы их имена не были преданы забвению.
О Кононе Самосском, старшем друге Архимеда, мы уже упоминали выше. О его собственных математических достижениях нам ничего не известно; впрочем, он был, по-видимому, скорее астрономом, чем математиком.
Математические труды другого друга Архимеда — Эратосфена Киренского — были не столь значительны, как его работы в области географии и хронологии, но они все же свидетельствовали об оригинальном и творческом уме их автора. Так, Эратосфен дал механическое решение знаменитой задачи об удвоении куба; это решение было высечено на стене одного из александрийских храмов. Он занимался теорией чисел и предложил оригинальный способ выделить простые числа из последовательности всех нечетных чисел (так называемое «решето Эратосфена»). В диалоге «Платоник» он изложил основы античной арифметики, где, в частности, были сформулированы правила образования различных пропорций.
Рис. 9. Конхоида (или кохлоида) Никомеда. При любом А (меньше 90°) AB=DE
Старший современник Аполлония, Никомед, известен главным образом тем, что открыл новую алгебраическую кривую — конхоиду. Она определяется как геометрическое место точек, образуемое концами лучей, исходящих из точки О и пересекающих прямую, причем расстояние от этой прямой до конца луча остается всегда равным а (рис 9). В полярных координатах уравнение этой кривой имеет вид:
Как рассказывают источники, Никомед очень гордился этой кривой и построил прибор для ее черчения. Он применил свою кривую для решения задач об удвоении куба и трисекции угла.
Ко второй половине II в. до н. э. относится творчество Диокла, изучавшего другую алгебраическую кривую — циссоиду. Она строится следующим образом. Даны два взаимно перпендикулярных диаметра круга АВ и CD. Пусть точки К и L удаляются от B в обе стороны, все время, однако, оставаясь на равном расстоянии от диаметра АВ. Из точки L опустим на диаметр CD перпендикуляр. Пересечение этого перпендикуляра с прямой KD даст нам точку, которая, по мере удаления К и L от В, будет описывать циссоиду (рис. 10). С помощью этой кривой Диокл также решил задачу об удвоении куба. Кроме того, он предложил свое решение задачи Архимеда о делении шара в заданном отношении; это решение, однако, было утеряно еще в древности.
Рис. 10. Построение циссоиды
Между III в. до н. э. и па-чалом нашей эры жил Зенодор — автор трактата «Об изопериметрических фигурах», где в частности, было показано:
1) что из двух правильных многоугольников с равными периметрами большую площадь будет иметь прямоугольник с большим числом сторон;
2) что если окружность круга и периметр правильного многоугольника равны, то площадь круга будет всегда больше правильного многоугольника;